Calcule a área da superfície da esfera unitária dada por
e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da superfície de uma esfera unitária, que está descrita por uma parametrização em termos de e . Aqui a gente vai utilizar conceitos de cálculo multivariado, mais especificamente, a fórmula para calcular a área de uma superfície parametrizada. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função que descreve a esfera e usar o produto vetorial delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização dada:
Aqui, varia de a e varia de a . Essa é a forma usual de parametrizar uma esfera unitária em coordenadas esféricas, onde é o ângulo polar e é o ângulo azimutal.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Primeira derivada parcial em relação a :
Segunda derivada parcial em relação a :

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto vetorial dessas duas derivadas parciais, que nos dá um vetor normal à superfície:
Calculando o determinante, obtemos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante, que representa a área infinitesimal da superfície:
Simplificando:

Passo 6

Com a magnitude em mãos, podemos montar a integral dupla para a área da superfície:
Vamos integrar primeiro em relação a :
Agora, integremos em relação a :

Resposta

A área da superfície da esfera unitária é .

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