Calcule integral duplaM f(p) d s.
(b) f(x, y, z)=15 y^2, M é a parte do parabolóide z=x^2+y^2, z <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde e é a parte do paraboloide limitada por .
Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície. Para isso, vamos precisar parametrizar a superfície e calcular o elemento de área .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o paraboloide. Como x = r cos theta, y = r sin theta, z = r^2 , uma boa ideia é usar coordenadas polares para simplificar, já que o paraboloide é simétrico em relação ao eixo .
Então, vamos definir:
onde varia de 0 a 1 (porque ) e varia de 0 a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área rr = ( cos theta, sin theta, 2r ) para a superfície parametrizada. Para isso, usamos as derivadas parciais em relação a rtheta = ( -r sin theta, r cos theta, 0 ) e rr times rtheta = i & j & k cos theta & sin theta & 2r - r sin theta & r cos theta & 0 = (-2r^2 cos theta, -2r^2 sin theta, r) :
|rr times rtheta| = raiz(-2r^2 cos theta)^2 + (-2r^2 sin theta)^2 + r^2 = raiz4r^4(cos^2 theta + sin^2 theta) + r^2 = raiz4r^4 + r^2 = r raiz4r^2 + 1
O produto vetorial nos dá um vetor normal à superfície, e o módulo desse vetor é o elemento de área .
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
Então, .

Passo 4

Agora, substituímos tudo na integral de superfície:
integral duplaM f(p) , dS = integral0^2pi integral0^1 15 y^2 cdot r raiz4r^2 + 1 , dr , dtheta
Como 15 integral0^2pi integral0^1 r^2 sin^2 theta cdot r raiz4r^2 + 1 , dr , dtheta = 15 integral0^2pi sin^2 theta , dtheta integral0^1 r^3 raiz4r^2 + 1 , dr , temos . Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos separar as integrais. Primeiro, a integral em integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = pi :
integral0^1 r^3 raiz4r^2 + 1 , dr
Isso porque integral1^5 (u - 1)^1.58 cdot du8 = 18 integral1^5 (u - 1)^1.5 , du .
Agora, a integral em 18 cdot 25 (u - 1)^2.5 |1^5 = 120 [ (4)^2.5 - 0 ] = 120 cdot 32 = 3220 = 85 :
Fazendo uma substituição , então , ou seja, . Quando , ; quando , .
Substituindo:
Integrando:

Passo 6

Agora, juntando tudo:
integral duplaM f(p) , dS = 15 cdot pi cdot 85 = 15 cdot pi cdot 85 = 24pi

Resposta

O valor da integral de superfície é .

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