Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde e é a parte do paraboloide limitada por .
Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície. Para isso, vamos precisar parametrizar a superfície e calcular o elemento de área .
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o paraboloide. Como , uma boa ideia é usar coordenadas polares para simplificar, já que o paraboloide é simétrico em relação ao eixo .
Então, vamos definir:
onde varia de 0 a 1 (porque ) e varia de 0 a .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área para a superfície parametrizada. Para isso, usamos as derivadas parciais em relação a e :
O produto vetorial nos dá um vetor normal à superfície, e o módulo desse vetor é o elemento de área .
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
Então, .
Passo 4
Agora, substituímos tudo na integral de superfície:
integral duplaM f(p) , dS = integral0^2pi integral0^1 15 y^2 cdot r raiz4r^2 + 1 , dr , dtheta
Como 15 integral0^2pi integral0^1 r^2 sin^2 theta cdot r raiz4r^2 + 1 , dr , dtheta = 15 integral0^2pi sin^2 theta , dtheta integral0^1 r^3 raiz4r^2 + 1 , dr , temos . Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos separar as integrais. Primeiro, a integral em integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = pi :
integral0^1 r^3 raiz4r^2 + 1 , dr
Isso porque integral1^5 (u - 1)^1.58 cdot du8 = 18 integral1^5 (u - 1)^1.5 , du .
Agora, a integral em 18 cdot 25 (u - 1)^2.5 |1^5 = 120 [ (4)^2.5 - 0 ] = 120 cdot 32 = 3220 = 85 :
Fazendo uma substituição , então , ou seja, . Quando , ; quando , .
Substituindo:
Integrando:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
integral duplaM f(p) , dS = 15 cdot pi cdot 85 = 15 cdot pi cdot 85 = 24pi