Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde e é a parte do paraboloide limitada por .
Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície. Para isso, vamos precisar parametrizar a superfície e calcular o elemento de área .
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o paraboloide. Como , uma boa ideia é usar coordenadas polares para simplificar, já que o paraboloide é simétrico em relação ao eixo .
Então, vamos definir:
onde varia de 0 a 1 (porque ) e varia de 0 a .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área para a superfície parametrizada. Para isso, usamos as derivadas parciais em relação a e :
O produto vetorial nos dá um vetor normal à superfície, e o módulo desse vetor é o elemento de área .
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
Então, .
Passo 4
Agora, substituímos tudo na integral de superfície:
Como , temos . Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos separar as integrais. Primeiro, a integral em :
Isso porque .
Agora, a integral em :
Fazendo uma substituição , então , ou seja, . Quando , ; quando , .