Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície de um toro, que é uma figura parecida com uma rosquinha. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais de superfícies no contexto de geometria vetorial. Vamos precisar encontrar as derivadas parciais do vetor posição e depois calcular o produto vetorial delas para finalmente integrar a magnitude desse produto sobre os intervalos dados de e .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função vetorial que descreve o toro:
Aqui, e variam de a .
Passo 3
Para encontrar a área da superfície, usamos a fórmula da integral de superfície:
Onde:
é a derivada parcial de em relação a .
é a derivada parcial de em relação a .
representa o produto vetorial.
é a magnitude do vetor.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
Passo 5
Com e calculados, vamos agora encontrar o produto vetorial .
Calculando o produto vetorial:
Resolvendo o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:
Passo 6
Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor:
Simplificando cada termo:
Fatorando :
Mais uma vez, :
E :
Como é sempre positivo (já que ), podemos simplificar para:
Passo 7
Agora, substituímos na fórmula da área:
Como os limites de integração para e são de a , podemos separar a integral: