Calcule a área da superfície do toro dado por
com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície de um toro, que é uma figura parecida com uma rosquinha. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais de superfícies no contexto de geometria vetorial. Vamos precisar encontrar as derivadas parciais do vetor posição e depois calcular o produto vetorial delas para finalmente integrar a magnitude desse produto sobre os intervalos dados de e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial que descreve o toro:
Aqui, e variam de a .

Passo 3

Para encontrar a área da superfície, usamos a fórmula da integral de superfície:
Onde:
  • é a derivada parcial de em relação a .
  • é a derivada parcial de em relação a .
  • representa o produto vetorial.
  • é a magnitude do vetor.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 5

Com e calculados, vamos agora encontrar o produto vetorial .
Calculando o produto vetorial:
Resolvendo o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor:
Simplificando cada termo:
Fatorando :
Mais uma vez, :
E :
Como é sempre positivo (já que ), podemos simplificar para:

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula da área:
Como os limites de integração para e são de a , podemos separar a integral:

Passo 8

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 9

Vamos resolver a integral restante:
Sabemos que e , então:

Resposta

A área da superfície do toro é unidades de área.

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e .
Verifique o Teorema de Gauss, em que e é limitada por .
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(a) 1.
Use o teorema de Green para calcular a área da região limitada pelo astróide , cuja parametrização é dada por .
Figura 3: Astróide.