Verifique o Teorema de Gauss, em que
e
é limitada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar o Teorema de Gauss. A gente tem o campo vetorial
e a região
limitada pelo círculo
. Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Gauss e como aplicar ele para calcular o fluxo do campo através da fronteira da região
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Em duas dimensões, ele é conhecido como Teorema de Green e relaciona o fluxo de um campo vetorial através da fronteira de uma região com a integral dupla da divergência desse campo sobre a região. A fórmula é:
Aqui,
é o vetor normal à fronteira,
é um elemento de comprimento na fronteira, e
é a divergência de
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo
. A divergência é dada por:
No nosso caso,
e
. Então:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral dupla da divergência sobre a região
. Como a divergência é zero, temos:
Passo 5
Segundo o Teorema de Gauss, esse resultado deve ser igual ao fluxo do campo
através da fronteira
. Ou seja:
Resposta
A verificação do Teorema de Gauss para o campo
na região
resulta em
, confirmando que o fluxo do campo através da fronteira é igual à integral dupla da divergência sobre a região.
Exercícios relacionados
Calcule
.
(b) é a parte do parabolóide
.
(b)
Use o Teorema de Green para calcular
, com
de
a
por
e de
a
por
.
Calcule a área da superfície da esfera unitária dada por
Calcule a área da superfície do toro dado por
com
.