Verifique o Teorema de Gauss, em que e é limitada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar o Teorema de Gauss. A gente tem o campo vetorial e a região limitada pelo círculo . Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Gauss e como aplicar ele para calcular o fluxo do campo através da fronteira da região .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Em duas dimensões, ele é conhecido como Teorema de Green e relaciona o fluxo de um campo vetorial através da fronteira de uma região com a integral dupla da divergência desse campo sobre a região. A fórmula é:
Aqui, é o vetor normal à fronteira, é um elemento de comprimento na fronteira, e é a divergência de .

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo . A divergência é dada por:
No nosso caso, e . Então:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla da divergência sobre a região . Como a divergência é zero, temos:

Passo 5

Segundo o Teorema de Gauss, esse resultado deve ser igual ao fluxo do campo através da fronteira . Ou seja:

Resposta

A verificação do Teorema de Gauss para o campo na região resulta em , confirmando que o fluxo do campo através da fronteira é igual à integral dupla da divergência sobre a região.

Exercícios relacionados

Calcule .
(b) é a parte do parabolóide .
Use o Teorema de Green para calcular , com de a por e de a por .
Calcule a área da superfície da esfera unitária dada por
e .
Calcule a área da superfície do toro dado por
com .