Verifique o Teorema de Gauss, em que F(x, y) = 2y i + 5x j e R é limitada por x^2 + y^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para verificar o Teorema de Gauss. A gente tem o campo vetorial e a região R limitada pelo círculo . Para isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Gauss e como aplicar ele para calcular o fluxo do campo através da fronteira da região R.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Gauss. Em duas dimensões, ele é conhecido como Teorema de Green e relaciona o fluxo de um campo vetorial através da fronteira de uma região com a integral dupla da divergência desse campo sobre a região. A fórmula é:
Aqui, n é o vetor normal à fronteira, é um elemento de comprimento na fronteira, e é a divergência de F.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo F. A divergência é dada por:
No nosso caso, e . Então:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dupla da divergência sobre a região R. Como a divergência é zero, temos:

Passo 5

Segundo o Teorema de Gauss, esse resultado deve ser igual ao fluxo do campo F através da fronteira . Ou seja:

Resposta

A verificação do Teorema de Gauss para o campo na região resulta em 0, confirmando que o fluxo do campo através da fronteira é igual à integral dupla da divergência sobre a região.

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