Calcule
, em que
é o parabolóide
em
(plano) e U é igual a:
(a) 1.
(a) 1.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral dupla
, onde
é o parabolóide dado por
e
é igual a 1. Isso significa que queremos encontrar a área da superfície
.
Passo 2
Para calcular a área de uma superfície dada por
, usamos a fórmula da integral dupla:
Aqui,
é a projeção da superfície
no plano
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Substituindo na fórmula da integral dupla:
Passo 4
Observamos que a expressão dentro da raiz é simétrica em
e
, então é conveniente usar coordenadas polares. Fazendo a mudança para coordenadas polares (
,
), a integral fica:
O limite superior
vem de resolver
, ou seja,
.
Passo 5
Calculamos a integral interna em
:
Fazendo a substituição
,
, então:
Agora, integramos em
:
Resposta
A integral dupla
vale
.
Exercícios relacionados
Calcule a área da superfície do toro dado por
com
.
Calcule a área da superfície da esfera unitária dada por
Use o teorema de Green para calcular a área da região limitada pelo astróide
, cuja parametrização é dada por
.
Figura 3: Astróide.
Resolva a equação diferencial dada por Cauchy-Euler: