Calcule integral duplaS U(x, y, z) d S, em que S é o parabolóide z=2-(x^2+y^2) em x y (plano) e U é igual a:
(a) 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral dupla , onde é o parabolóide dado por e é igual a 1. Isso significa que queremos encontrar a área da superfície .

Passo 2

Para calcular a área de uma superfície dada por integral duplaS dS = integral duplaD raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy , usamos a fórmula da integral dupla:
Aqui, é a projeção da superfície no plano .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial zpartial x = -2x e partial zpartial y = -2y em relação a integral duplaD raiz1 + (-2x)^2 + (-2y)^2 , dx , dy = integral duplaD raiz1 + 4x^2 + 4y^2 , dx , dy e :
Substituindo na fórmula da integral dupla:

Passo 4

Observamos que a expressão dentro da raiz é simétrica em integral0^2pi integral0^raiz2 raiz1 + 4r^2 , r , dr , dtheta e , então é conveniente usar coordenadas polares. Fazendo a mudança para coordenadas polares ( , ), a integral fica:
O limite superior vem de resolver , ou seja, .

Passo 5

Calculamos a integral interna em integral0^raiz2 r raiz1 + 4r^2 , dr :
18 integral1^9 raizu , du = 18 [ 23 u^3/2 ]1^9 = 112 ( 27 - 1 ) = 2612 = 136
Fazendo a substituição integral0^2pi 136 , dtheta = 136 times 2pi = 13pi3 , , então:
Agora, integramos em :

Resposta

A integral dupla vale .

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