Calcule , em que é o parabolóide em (plano) e U é igual a:
(a) 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral dupla , onde é o parabolóide dado por e é igual a 1. Isso significa que queremos encontrar a área da superfície .

Passo 2

Para calcular a área de uma superfície dada por , usamos a fórmula da integral dupla:
Aqui, é a projeção da superfície no plano .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Substituindo na fórmula da integral dupla:

Passo 4

Observamos que a expressão dentro da raiz é simétrica em e , então é conveniente usar coordenadas polares. Fazendo a mudança para coordenadas polares ( , ), a integral fica:
O limite superior vem de resolver , ou seja, .

Passo 5

Calculamos a integral interna em :
Fazendo a substituição , , então:
Agora, integramos em :

Resposta

A integral dupla vale .

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com .
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e .
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Resolva a equação diferencial dada por Cauchy-Euler: