Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo dado.
b.
, eixo
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície gerada quando a curva
e
, com
, é rodada em torno do eixo
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo, especificamente com o cálculo de áreas de superfície de curvas paramétricas rotacionadas em torno de um eixo. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da área de superfície para curvas paramétricas e calcular derivadas das funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma curva paramétrica em torno do eixo
. Se temos uma curva definida por
e
, a área
é dada por:
Aqui,
e
são os limites do parâmetro
.
Passo 3
Vamos identificar as funções e os limites do parâmetro:
Agora, precisamos calcular as derivadas
e
.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Substituindo as derivadas na fórmula da área da superfície:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a expressão para
fica:
Passo 6
Essa integral pode ser complexa para ser resolvida analiticamente e provavelmente requer métodos numéricos para ser avaliada. Portanto, a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo
é dada pela integral acima. Para obter um valor numérico, seria necessário utilizar técnicas de integração numérica ou ferramentas computacionais.
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo
é dada por:
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Considere a sequência
(a) Exiba três subsequências limitadas e três não limitadas.
(a) Exiba três subsequências limitadas e três não limitadas.
Determine:
(*Sugestão para o item (25): fazer
)
Determine:
Considere a sequência
Exiba três subsequências monótonas crescentes e três monótonas não crescentes.
Exiba três subsequências monótonas crescentes e três monótonas não crescentes.