Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo dado.
b. , eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da superfície gerada quando a curva e , com , é rodada em torno do eixo . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo, especificamente com o cálculo de áreas de superfície de curvas paramétricas rotacionadas em torno de um eixo. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da área de superfície para curvas paramétricas e calcular derivadas das funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma curva paramétrica em torno do eixo . Se temos uma curva definida por e , a área é dada por:
Aqui, e são os limites do parâmetro .

Passo 3

Vamos identificar as funções e os limites do parâmetro:
Agora, precisamos calcular as derivadas e .

Passo 4

Calculando :
Calculando :

Passo 5

Substituindo as derivadas na fórmula da área da superfície:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a expressão para fica:

Passo 6

Essa integral pode ser complexa para ser resolvida analiticamente e provavelmente requer métodos numéricos para ser avaliada. Portanto, a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo é dada pela integral acima. Para obter um valor numérico, seria necessário utilizar técnicas de integração numérica ou ferramentas computacionais.

Resposta

A área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo é dada por:

Exercícios relacionados

Considere a sequência
(a) Exiba três subsequências limitadas e três não limitadas.
Determine: (*Sugestão para o item (25): fazer )
Determine:
Considere a sequência
Exiba três subsequências monótonas crescentes e três monótonas não crescentes.