Determine: (*Sugestão para o item (25): fazer )

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema envolve cálculos de limites com radicais, usando propriedades de potências. Para resolver, vamos precisar usar a substituição , o que facilita os cálculos trabalhando com expoentes fracionários.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a substituição sugerida: . Isso significa que . Vamos reescrever cada radical em termos de :

Passo 3

Substituindo esses valores na expressão original, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração. No numerador, podemos fatorar :
E no denominador, podemos fatorar :
Então, a expressão fica:

Passo 5

Perceba que pode ser fatorado como . Assim:
Note que , então podemos substituir:
Agora, podemos cancelar no numerador e denominador.

Passo 6

Com a expressão simplificada para , podemos agora calcular o limite quando . Como , quando , temos .
Substituindo na expressão:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(d)
Considere a função definida por . Usando o exercício anterior encontre para . (Tal processo é conhecido como derivação logarítmica.)
Considere a sequência
(a) Exiba três subsequências limitadas e três não limitadas.
Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo dado.
b. , eixo