Determine: lim x 1 raiz[3]x-raizxraiz[4]x-raiz[6]x (*Sugestão para o item (25): fazer u=raiz[12]x )

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema envolve cálculos de limites com radicais, usando propriedades de potências. Para resolver, vamos precisar usar a substituição , o que facilita os cálculos trabalhando com expoentes fracionários.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a substituição sugerida: . Isso significa que . Vamos reescrever cada radical em termos de :

Passo 3

Substituindo esses valores na expressão original, temos:
raiz[3]x - raizxraiz[4]x - raiz[6]x = u^4 - u^6u^3 - u^2

Passo 4

Agora, vamos simplificar a fração. No numerador, podemos fatorar u^4 - u^6 = u^4(1 - u^2) :
u^3 - u^2 = u^2(u - 1)
E no denominador, podemos fatorar u^4(1 - u^2)u^2(u - 1) = u^2(1 - u^2)u - 1 :
Então, a expressão fica:

Passo 5

Perceba que u^2(1 - u)(1 + u)u - 1 pode ser fatorado como u^2 cdot (-1)(u - 1)(1 + u)u - 1 = -u^2(1 + u) . Assim:
Note que , então podemos substituir:
Agora, podemos cancelar no numerador e denominador.

Passo 6

Com a expressão simplificada para -1^2(1 + 1) = -1 cdot 2 = -2 , podemos agora calcular o limite quando . Como , quando , temos .
Substituindo na expressão:

Resposta

O limite é .

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