Determine:
(*Sugestão para o item (25): fazer
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse problema envolve cálculos de limites com radicais, usando propriedades de potências. Para resolver, vamos precisar usar a substituição
, o que facilita os cálculos trabalhando com expoentes fracionários.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a substituição sugerida:
. Isso significa que
. Vamos reescrever cada radical em termos de
:
Passo 3
Substituindo esses valores na expressão original, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a fração. No numerador, podemos fatorar
:
E no denominador, podemos fatorar
:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Perceba que
pode ser fatorado como
. Assim:
Note que
, então podemos substituir:
Agora, podemos cancelar
no numerador e denominador.
Passo 6
Com a expressão simplificada para
, podemos agora calcular o limite quando
. Como
, quando
, temos
.
Substituindo
na expressão:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(d)
(d)
Considere a função definida por
. Usando o exercício anterior encontre
para
. (Tal processo é conhecido como derivação logarítmica.)
Considere a sequência
(a) Exiba três subsequências limitadas e três não limitadas.
(a) Exiba três subsequências limitadas e três não limitadas.
Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo dado.
b. , eixo
b.