Considere a sequência
Exiba três subsequências monótonas crescentes e três monótonas não crescentes.
Exiba três subsequências monótonas crescentes e três monótonas não crescentes.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para exibir três subsequências monótonas crescentes e três monótonas não crescentes da sequência
. A matéria envolvida aqui é Teoria de Sequências e vamos precisar entender o conceito de subsequências e suas propriedades de monotonicidade para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma subsequência. Uma subsequência é uma sequência que pode ser obtida a partir da sequência original removendo alguns elementos, sem alterar a ordem dos restantes. Por exemplo, da sequência
, uma subsequência poderia ser
.
Passo 3
Agora, vamos definir o que significa uma subsequência ser monótona crescente. Uma subsequência é monótona crescente se cada elemento é maior ou igual ao anterior. Formalmente, para uma subsequência
, temos que
para todo
.
Passo 4
Da mesma forma, uma subsequência é monótona não crescente se cada elemento é menor ou igual ao anterior, ou seja,
para todo
.
Passo 5
Vamos identificar três subsequências monótonas crescentes na sequência dada:
- Subsequência 1:
– pegamos os primeiros elementos crescentes em cada bloco. - Subsequência 2:
– escolhendo os três primeiros elementos que estão crescendo. - Subsequência 3:
– começando pelo segundo elemento e seguindo a ordem crescente.
Passo 6
Agora, vamos identificar três subsequências monótonas não crescentes:
- Subsequência 1:
– o segundo elemento é menor que o primeiro. - Subsequência 2:
– elementos decrescentes. - Subsequência 3:
– também em ordem decrescente.
Resposta
Três subsequências monótonas crescentes:
Três subsequências monótonas não crescentes: