Considere a sequência (1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ...)
Exiba três subsequências monótonas crescentes e três monótonas não crescentes.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para exibir três subsequências monótonas crescentes e três monótonas não crescentes da sequência (1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ...). A matéria envolvida aqui é Teoria de Sequências e vamos precisar entender o conceito de subsequências e suas propriedades de monotonicidade para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma subsequência. Uma subsequência é uma sequência que pode ser obtida a partir da sequência original removendo alguns elementos, sem alterar a ordem dos restantes. Por exemplo, da sequência (1, 2, 3), uma subsequência poderia ser 1,3.

Passo 3

Agora, vamos definir o que significa uma subsequência ser monótona crescente. Uma subsequência é monótona crescente se cada elemento é maior ou igual ao anterior. Formalmente, para uma subsequência , temos que para todo n.

Passo 4

Da mesma forma, uma subsequência é monótona não crescente se cada elemento é menor ou igual ao anterior, ou seja, para todo n.

Passo 5

Vamos identificar três subsequências monótonas crescentes na sequência dada:
  1. Subsequência 1: – pegamos os primeiros elementos crescentes em cada bloco.
  2. Subsequência 2: (1, 2, 3) – escolhendo os três primeiros elementos que estão crescendo.
  3. Subsequência 3: – começando pelo segundo elemento e seguindo a ordem crescente.

Passo 6

Agora, vamos identificar três subsequências monótonas não crescentes:
  1. Subsequência 1: (2,1) – o segundo elemento é menor que o primeiro.
  2. Subsequência 2: – elementos decrescentes.
  3. Subsequência 3: (4, 3, 2) – também em ordem decrescente.

Resposta

Três subsequências monótonas crescentes:
  1. (1, 2, 3)
Três subsequências monótonas não crescentes:
  1. (2,1)
  2. (4, 3, 2)

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