Determine: lim x 1^+ x-1raiz2 x-x^2-1

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um certo valor. Para resolver esse limite, vamos precisar simplificar a expressão e aplicar algumas técnicas de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o problema ao substituirmos 1-1raiz2 cdot 1 - 1^2 -1 = 0raiz2 - 1 -1 = 01 - 1 = 00 diretamente na expressão:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, podemos fazer uma substituição que facilite a resolução. Vamos definir hraiz2(1 + h) - (1 + h)^2 -1 , assim quando raiz2 + 2h - (1 + 2h + h^2) -1 = raiz1 - h^2 -1 , . Reescrevendo a expressão em termos de :
Vamos simplificar o denominador:

Passo 4

Agora temos:
hraiz1 - h^2 -1
Para eliminar a raiz do denominador, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é h(raiz1 - h^2 +1)(raiz1 - h^2 -1)(raiz1 - h^2 +1) = h(raiz1 - h^2 +1)1 - h^2 -1 = h(raiz1 - h^2 +1)-h^2 :
-(raiz1 - h^2 +1)h
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, analisamos o limite quando limh 0^+ -(raiz1 - h^2 +1)h :
-(1 +1)0^+ = -20^+ = -infty
Quando se aproxima de 0, , então a expressão se aproxima de:

Resposta

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