Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo dado.
, eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno de um eixo. O que a gente vai precisar aqui são conceitos de cálculo diferencial, especialmente relacionados a superfícies de rotação e integrais. Vamos seguir passo a passo para entender como calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a curva que estamos trabalhando. A curva está definida parametricamente por:
onde
varia de 0 a 1 (
). Queremos rotacionar essa curva em torno do eixo
e calcular a área da superfície gerada por essa rotação.
Passo 3
Para calcular a área de uma superfície de rotação em coordenadas paramétricas, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
é a distância do ponto à linha de rotação (no caso, eixo
), e
representa o elemento de comprimento ao longo da curva.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular as derivadas
e
:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
na expressão do elemento de comprimento:
Vamos simplificar essa expressão:
Explicando, elevamos cada derivada ao quadrado e somamos, conforme a fórmula.
Passo 6
Simplificando dentro da raiz:
Então, temos:
Aqui, reconhecemos que
é um quadrado perfeito.
Passo 7
Agora, voltando à fórmula da área:
Vamos expandir o produto dentro da integral:
Passo 8
Então, a integral fica:
Vamos separar essa integral em partes:
Passo 9
Calculando cada integral separadamente:
-
-
-
: aqui usamos integração por partes. Seja e , então e . Aplicando:
Passo 10
Agora, avaliamos cada parte de 0 a 1:
Passo 11
Substituindo de volta na expressão da área:
Simplificando:
Passo 12
Finalmente, podemos fatorar o
para simplificar:
Resposta
A área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo
é:
Exercícios relacionados
Seja
uma função contínua. Se
é derivável em
e
mostre que existe uma constante
tal que
.
Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa 2 .
Determine a derivada da função vetorial.
Nos Exercícios 35-40, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.