Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo dado. , eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno de um eixo. O que a gente vai precisar aqui são conceitos de cálculo diferencial, especialmente relacionados a superfícies de rotação e integrais. Vamos seguir passo a passo para entender como calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva que estamos trabalhando. A curva está definida parametricamente por:
onde varia de 0 a 1 ( ). Queremos rotacionar essa curva em torno do eixo e calcular a área da superfície gerada por essa rotação.

Passo 3

Para calcular a área de uma superfície de rotação em coordenadas paramétricas, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é a distância do ponto à linha de rotação (no caso, eixo ), e representa o elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular as derivadas e :

Passo 5

Agora, vamos substituir e na expressão do elemento de comprimento:
Vamos simplificar essa expressão:
Explicando, elevamos cada derivada ao quadrado e somamos, conforme a fórmula.

Passo 6

Simplificando dentro da raiz:
Então, temos:
Aqui, reconhecemos que é um quadrado perfeito.

Passo 7

Agora, voltando à fórmula da área:
Vamos expandir o produto dentro da integral:

Passo 8

Então, a integral fica:
Vamos separar essa integral em partes:

Passo 9

Calculando cada integral separadamente:
  1. : aqui usamos integração por partes. Seja e , então e . Aplicando:

Passo 10

Agora, avaliamos cada parte de 0 a 1:

Passo 11

Substituindo de volta na expressão da área:
Simplificando:

Passo 12

Finalmente, podemos fatorar o para simplificar:

Resposta

A área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo é:

Exercícios relacionados

Seja uma função contínua. Se é derivável em e mostre que existe uma constante tal que .
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Nos Exercícios 35-40, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.