Determine a derivada da função vetorial. r(t) = <t sen(t), t^2, t cos(2t)>

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função vetorial . Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar cada componente da função vetorial individualmente usando regras de derivação básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar cada componente da função vetorial :
  • A primeira componente é .
  • A segunda componente é .
  • A terceira componente é .

Passo 3

Vamos derivar a primeira componente . Isso é um produto de duas funções: e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto, que diz que .
Derivando:
  • então .
  • então .
Aplicando a regra:

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda componente . A derivada de em relação a é .
Derivando:

Passo 5

Por último, vamos derivar a terceira componente . Novamente, temos um produto de duas funções: e . Usamos a regra do produto e aplicamos a regra da cadeia para derivar .
Derivando:
  • então .
  • então (pela regra da cadeia).
Aplicando a regra:

Resposta

A derivada da função vetorial é:

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