Seja
uma função contínua. Se
é derivável em
e
mostre que existe uma constante
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função contínua
definida no intervalo
e que é diferenciável dentro desse intervalo. Sabemos também que a derivada de
, ou seja,
, é igual a
. Nosso objetivo é mostrar que essa função pode ser escrita como
, onde
é uma constante. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações diferenciais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que
é diferenciável em
. Isso quer dizer que a derivada
existe para todo
nesse intervalo. Além disso, a equação
é uma equação diferencial que relaciona a função
com sua derivada.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e é conhecida por ter uma solução exponencial. Para resolver, podemos separar as variáveis:
Passo 4
Integrando ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é
e do lado direito é
, onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver para
, vamos aplicar a função exponencial em ambos os lados:
Como
, temos:
Podemos simplificar
como uma nova constante
, já que
é uma constante qualquer.
Passo 6
Removendo o valor absoluto, pois
pode ser positivo ou negativo, temos:
Onde
é uma constante real.
Resposta
Existe uma constante
tal que
para todo
em
.
Exercícios relacionados
Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa 2 .
Calcule
:
®
®
Calcule a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo dado.
, eixo
Determine a derivada da função vetorial.