Seja f: [a, b] -> R uma função contínua. Se f é derivável em (a, b) e f'(x) = f(x) mostre que existe uma constante C tal que f(x) = C e^x.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função contínua definida no intervalo e que é diferenciável dentro desse intervalo. Sabemos também que a derivada de , ou seja, , é igual a . Nosso objetivo é mostrar que essa função pode ser escrita como , onde é uma constante. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações diferenciais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dizer que é diferenciável em . Isso quer dizer que a derivada existe para todo nesse intervalo. Além disso, a equação é uma equação diferencial que relaciona a função com sua derivada.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e é conhecida por ter uma solução exponencial. Para resolver, podemos separar as variáveis:

Passo 4

Integrando ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é e do lado direito é , onde é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para , vamos aplicar a função exponencial em ambos os lados:
Como , temos:
Podemos simplificar como uma nova constante , já que é uma constante qualquer.

Passo 6

Removendo o valor absoluto, pois pode ser positivo ou negativo, temos:
Onde é uma constante real.

Resposta

Existe uma constante tal que para todo em .

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