Calcule: integral1^raize cos (pi ln x)x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral definida de 1 até √e da função em relação a . Isso envolve cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar entender como a substituição pode ajudar a resolver integrais que têm funções compostas, como essa que envolve o cosseno e o logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Isso é útil porque o logaritmo natural está dentro do cosseno, e queremos facilitar a integração.

Passo 3

Agora, vamos derivar dt = 1x dx Rightarrow dx = x , dt para encontrar 1x dx = dt :
Mas, observe que na nossa integral original temos , então:

Passo 4

Substituindo integral1^raize cos(pi ln x)x dx = integraltinferior^tsuperior cos(pi t) , dt e na integral original, ela fica mais simples:
Precisamos agora mudar os limites de integração para termos em .

Passo 5

Vamos calcular os novos limites de integração usando t = ln 1 = 0 :
  • Quando t = ln raize = ln e^1/2 = 12 ln e = 12 :
  • Quando :
Então, os novos limites são de até .

Passo 6

Agora, a integral fica:
integral0^12 cos(pi t) , dt
Vamos integrar em relação a .

Passo 7

A antiderivada de integral cos(pi t) , dt = sin(pi t)pi + C em relação a é:
Onde é a constante de integração, mas como temos limites definidos, não precisamos nos preocupar com .

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
sin(pi t)pi |0^12 = sin(pi cdot 12)pi - sin(0)pi
Sabemos que 1pi - 0 = 1pi e , então:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados