Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral definida de 1 até √e da função em relação a . Isso envolve cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar entender como a substituição pode ajudar a resolver integrais que têm funções compostas, como essa que envolve o cosseno e o logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Isso é útil porque o logaritmo natural está dentro do cosseno, e queremos facilitar a integração.
Passo 3
Agora, vamos derivar para encontrar :
Mas, observe que na nossa integral original temos , então:
Passo 4
Substituindo e na integral original, ela fica mais simples:
Precisamos agora mudar os limites de integração para termos em .
Passo 5
Vamos calcular os novos limites de integração usando :
Quando :
Quando :
Então, os novos limites são de até .
Passo 6
Agora, a integral fica:
Vamos integrar em relação a .
Passo 7
A antiderivada de em relação a é:
Onde é a constante de integração, mas como temos limites definidos, não precisamos nos preocupar com .