Considere as funções f(x) = x^2 + 3x e g(x) = (1 - (k + 1)^2) x^2 + 3 x + (k + 5)^2, em que k é um número real positivo.
(a) Determine, em função de k, os dois valores de x para os quais f(x) = g(x).

Passo 1

Vamos organizar o que o exercício está pedindo. Temos duas funções:
Onde é um número real positivo. O objetivo é encontrar, em função de , os dois valores de que satisfazem .
Para resolver isso, vamos igualar as duas funções e resolver a equação resultante para . Precisaremos utilizar conhecimentos de álgebra, especificamente equações quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar e :
Substituindo as expressões das funções:

Passo 3

Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação para facilitar a resolução. Subtraímos de ambos os lados:

Passo 4

Vamos distribuir o sinal negativo e simplificar os termos:

Passo 5

Agora, vamos combinar termos semelhantes. Observe que . Portanto, a equação fica:

Passo 6

Vamos simplificar :
Então, a equação se torna:

Passo 7

Fatorando :
Perceba que . Então:

Passo 8

Agora, temos uma equação quadrática em :
Vamos resolver para :

Passo 9

Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

Os dois valores de para os quais são:

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