Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva:
(18.4)
ao redor do eixo
(18.4)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície que aparece quando a curva
no intervalo
é girada em torno do eixo
. Esse tipo de problema faz parte do cálculo de áreas de superfícies de revolução, e para resolver vamos precisar usar uma fórmula específica desse conceito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar. Quando a gente tem uma curva definida por
e queremos girá-la em torno do eixo
, a área da superfície gerada é dada por:
Aqui:
-
é a função que define a curva. -
é a derivada de em relação a . -
e são os limites de integração, no nosso caso e .
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na fórmula da área:
Portanto,
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula da área:
Passo 6
Agora, é só calcular a integral:
Resposta
A área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Nos exercícios de 1 a 36 diferencie cada função
Seja
a região do plano limitado pelas curvas
e
.
Calcule o centróide de .
Calcule o centróide de
Determine a área limitada:
pelas curvas de equações e
pelas curvas de equações