Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva:
(18.4) ao redor do eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície que aparece quando a curva no intervalo é girada em torno do eixo . Esse tipo de problema faz parte do cálculo de áreas de superfícies de revolução, e para resolver vamos precisar usar uma fórmula específica desse conceito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que vamos usar. Quando a gente tem uma curva definida por e queremos girá-la em torno do eixo , a área da superfície gerada é dada por:
Aqui:
  • é a função que define a curva.
  • é a derivada de em relação a .
  • e são os limites de integração, no nosso caso e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos substituir na fórmula da área:
Portanto,

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da área:

Passo 6

Agora, é só calcular a integral:

Resposta

A área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo é unidades de área.

Exercícios relacionados

Nos exercícios de 1 a 36 diferencie cada função
Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
Calcule o centróide de .
Determine a área limitada:
pelas curvas de equações e