Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
Calcule o centróide de .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma região no plano que é limitada por duas curvas: e . O objetivo é encontrar o centróide dessa região, ou seja, o ponto que representa o “centro de massa” da área .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração definida para encontrar a área da região e as coordenadas do centróide. Vamos seguir passo a passo para esclarecer todo o processo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas para saber os limites de integração. Isso significa resolver o sistema de equações:
Vamos substituir a segunda equação na primeira. Da segunda equação, isolamos :
Agora, substituímos na primeira equação:
Vamos arrumar essa equação:
Multiplicando todos os termos por para simplificar:
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Portanto, as soluções são:
Agora, encontramos os valores correspondentes de usando :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 3

Com os pontos de interseção determinados, estabelecemos os limites de integração: de a .
Agora, precisamos identificar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Observando as equações:
  • é uma parábola que abre para baixo.
  • é uma reta.
Vamos pegar um valor de dentro do intervalo, por exemplo, :
Para a parábola:
Para a reta:
Vemos que, nesse ponto, a parábola está acima da reta. Portanto, a função será a função superior e a inferior no intervalo de integração.

Passo 4

Agora, vamos calcular a área da região . A fórmula para a área entre duas curvas é:
çãçã
Substituindo as funções e os limites:

Passo 5

Vamos integrar a função:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então, a área é:

Passo 6

Agora, vamos calcular as coordenadas do centróide .
A fórmula para é:
çãçã
Substituindo:

Passo 7

Integrando a função:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então:
Portanto:

Passo 8

Agora, vamos calcular . A fórmula é:
çãçã
Substituindo:
Para simplificar, vamos expandir os termos:
Então:

Passo 9

Agora, integramos a função resultante:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então:
Portanto:

Resposta

O centróide da região é aproximadamente .

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