Determine a área limitada:
pelas curvas de equações e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular a área que está limitada pela reta e pelas curvas definidas pelas equações paramétricas:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente trabalhando com equações paramétricas e áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde a reta intercepta a curva paramétrica. Para isso, igualamos as duas expressões para :

Passo 3

Resolvendo a equação :
Então, os pontos de interseção acontecem quando e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas correspondentes a esses valores de :
Para :
Para :
Portanto, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Para calcular a área entre a curva paramétrica e a reta , vamos integrar em relação a no intervalo de a . A fórmula para a área entre uma curva paramétrica e uma reta vertical é:
Onde:
  • (a reta )
  • e

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, multiplicamos os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto, a integral indefinida é:

Passo 9

Vamos agora avaliar a integral definida de a :
Simplificando cada parte:
Para :
Para :

Passo 10

Calculando as diferenças:
Vamos calcular cada parte separadamente:
Primeira parte:
Segunda parte:
Então:

Resposta

A área limitada pelas curvas é aproximadamente unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva:
(18.4) ao redor do eixo
\iint_{R}\left(1-x{2}-y{2}\right) d x d y ; R=\left{x \geq 0, y \geq 0, x=0, y=x, x{2}+y{2}=1\right}
$$
20) Calcule, usando integral dupla, o volume:
(20.1) do tetraedro delimitado no octante pelo plano