Determine a área limitada:
pelas curvas de equações
e
pelas curvas de equações
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular a área que está limitada pela reta
e pelas curvas definidas pelas equações paramétricas:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente trabalhando com equações paramétricas e áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde a reta
intercepta a curva paramétrica. Para isso, igualamos as duas expressões para
:
Passo 3
Resolvendo a equação
:
Então, os pontos de interseção acontecem quando
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as coordenadas
correspondentes a esses valores de
:
Para
:
Para
:
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Para calcular a área entre a curva paramétrica e a reta
, vamos integrar em relação a
no intervalo de
a
. A fórmula para a área
entre uma curva paramétrica e uma reta vertical
é:
Onde:
-
(a reta ) -
-
-
-
e
Passo 6
Vamos substituir os valores na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, multiplicamos os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto, a integral indefinida é:
Passo 9
Vamos agora avaliar a integral definida de
a
:
Simplificando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 10
Calculando as diferenças:
Vamos calcular cada parte separadamente:
Primeira parte:
Segunda parte:
Então:
Resposta
A área limitada pelas curvas é aproximadamente
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva:
(18.4) ao redor do eixo
(18.4)
\iint_{R}\left(1-x{2}-y{2}\right) d x d y ; R=\left{x \geq 0, y \geq 0, x=0, y=x, x{2}+y{2}=1\right}
$$
20) Calcule, usando integral dupla, o volume:
(20.1) do tetraedro delimitado no octante pelo plano
20) Calcule, usando integral dupla, o volume:
(20.1) do tetraedro delimitado no