Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva:
(18.3) ao redor do eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície que é formada quando a curva , no intervalo de , é girada ao redor do eixo . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre área de superfície de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva ao redor do eixo . A fórmula é:
Aqui:
  • é a área da superfície.
  • é a função que está sendo girada.
  • e são os limites de integração.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Então, a expressão dentro da raiz na fórmula fica:

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula da área:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Seja:
Quando , e quando , .
A integral fica então:
A integral de é:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
Vamos calcular cada termo:
Então:

Resposta

A área da superfície de revolução �� aproximadamente unidades quadradas.

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1
Função de produção Cobb Douglas
Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelavam o crescimento da economia norte-americana durante o período de 1899 a 1922. Eles consideraram uma visão simplificada na qual a produção é determinada pela quantidade de trabalho e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A função de produção genérica utilizada para modelar a produção era da forma
onde P é a produção total (valor monetário dos bens produzidos no ano); L, a quantidade de trabalho (número total de pessoas-hora trabalhadas em um ano); e K, a quantidade de capital investido (valor monetário das máquinas, equipamentos e prédios).
Se e determine:
(a) O domínio da função.
Determinar o domínio das seguintes funções:
(a)
Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
(19.3)
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(a) Se quando ao longo de toda reta que passa por , então .