Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva:
(18.3) y = raiz(x), 4 <= x <= 9 ao redor do eixo O x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície que é formada quando a curva , no intervalo de , é girada ao redor do eixo . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre área de superfície de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva ao redor do eixo . A fórmula é:
Aqui:
  • é a área da superfície.
  • é a função que está sendo girada.
  • e são os limites de integração.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Então, a expressão dentro da raiz na fórmula fica:

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula da área:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Seja:
Quando , e quando , .
A integral fica então:
A integral de é:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
Vamos calcular cada termo:
Então:

Resposta

A área da superfície de revolução �� aproximadamente unidades quadradas.

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