Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva:
(18.3)
ao redor do eixo
(18.3)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície que é formada quando a curva
, no intervalo de
, é girada ao redor do eixo
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre área de superfície de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva ao redor do eixo
. A fórmula é:
Aqui:
-
é a área da superfície. -
é a função que está sendo girada. -
e são os limites de integração.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Então, a expressão dentro da raiz na fórmula fica:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula da área:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Seja:
Quando
,
e quando
,
.
A integral fica então:
A integral de
é:
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Vamos calcular cada termo:
Então:
Resposta
A área da superfície de revolução �� aproximadamente
unidades quadradas.