Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva:
(18.3)
ao redor do eixo
(18.3)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície que é formada quando a curva
, no intervalo de
, é girada ao redor do eixo
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre área de superfície de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área de uma superfície gerada pela rotação de uma curva ao redor do eixo
. A fórmula é:
Aqui:
-
é a área da superfície. -
é a função que está sendo girada. -
e são os limites de integração.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Então, a expressão dentro da raiz na fórmula fica:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula da área:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição simples. Seja:
Quando
,
e quando
,
.
A integral fica então:
A integral de
é:
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Vamos calcular cada termo:
Então:
Resposta
A área da superfície de revolução �� aproximadamente
unidades quadradas.
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1
Função de produção Cobb Douglas
Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelavam o crescimento da economia norte-americana durante o período de 1899 a 1922. Eles consideraram uma visão simplificada na qual a produção é determinada pela quantidade de trabalho e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A função de produção genérica utilizada para modelar a produção era da forma
Função de produção Cobb Douglas
Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelavam o crescimento da economia norte-americana durante o período de 1899 a 1922. Eles consideraram uma visão simplificada na qual a produção é determinada pela quantidade de trabalho e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A função de produção genérica utilizada para modelar a produção era da forma
onde P é a produção total (valor monetário dos bens produzidos no ano); L, a quantidade de trabalho (número total de pessoas-hora trabalhadas em um ano); e K, a quantidade de capital investido (valor monetário das máquinas, equipamentos e prédios).
Se e
determine:
(a) O domínio da função.
Se
(a) O domínio da função.
Determinar o domínio das seguintes funções:
(a)
(a)
Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando
nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
(19.3)
(19.3)
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(a) Se quando
ao longo de toda reta que passa por
, então
.
(a) Se