Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando t nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
(19.3) { x = e^(2 t), y = t^3 + 2 t }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar os gráficos de duas curvas dadas de forma paramétrica. Isso significa que temos duas equações que dependem de um terceiro valor, o . Nosso objetivo é eliminar o dessas equações e encontrar uma relação direta entre e , que é a forma cartesiana. Para isso, vamos precisar usar funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que temos:
Precisamos encontrar uma maneira de expressar em termos de ou para substituir na outra equação.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a primeira equação para . Temos:
Para isolar , tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, dividimos ambos os lados por 2:

Passo 4

Agora que temos expresso em termos de , vamos substituir essa expressão na segunda equação para encontrar em função de :
Substituindo :

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Primeiro, calculamos :
E :
Então, juntando tudo:

Resposta

A equação cartesiana que relaciona e é:

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