Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
(19.3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar os gráficos de duas curvas dadas de forma paramétrica. Isso significa que temos duas equações que dependem de um terceiro valor, o . Nosso objetivo é eliminar o dessas equações e encontrar uma relação direta entre e , que é a forma cartesiana. Para isso, vamos precisar usar funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que temos:
Precisamos encontrar uma maneira de expressar em termos de ou para substituir na outra equação.

Passo 3

Vamos começar resolvendo a primeira equação para . Temos:
Para isolar , tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, dividimos ambos os lados por 2:

Passo 4

Agora que temos expresso em termos de , vamos substituir essa expressão na segunda equação para encontrar em função de :
Substituindo :

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Primeiro, calculamos :
E :
Então, juntando tudo:

Resposta

A equação cartesiana que relaciona e é:

Exercícios relacionados

Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva:
(18.3) ao redor do eixo
1
Função de produção Cobb Douglas
Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelavam o crescimento da economia norte-americana durante o período de 1899 a 1922. Eles consideraram uma visão simplificada na qual a produção é determinada pela quantidade de trabalho e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A função de produção genérica utilizada para modelar a produção era da forma
onde P é a produção total (valor monetário dos bens produzidos no ano); L, a quantidade de trabalho (número total de pessoas-hora trabalhadas em um ano); e K, a quantidade de capital investido (valor monetário das máquinas, equipamentos e prédios).
Se e determine:
(a) O domínio da função.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(a) Se quando ao longo de toda reta que passa por , então .
Calcule as expressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados:
(20.3) , no ponto