Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando
nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
(19.3)
(19.3)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar os gráficos de duas curvas dadas de forma paramétrica. Isso significa que temos duas equações que dependem de um terceiro valor, o
. Nosso objetivo é eliminar o
dessas equações e encontrar uma relação direta entre
e
, que é a forma cartesiana. Para isso, vamos precisar usar funções exponenciais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações que temos:
Precisamos encontrar uma maneira de expressar
em termos de
ou
para substituir na outra equação.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a primeira equação para
. Temos:
Para isolar
, tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, dividimos ambos os lados por 2:
Passo 4
Agora que temos
expresso em termos de
, vamos substituir essa expressão na segunda equação para encontrar
em função de
:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Primeiro, calculamos
:
E
:
Então, juntando tudo:
Resposta
A equação cartesiana que relaciona
e
é: