Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando
nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
(19.3)
(19.3)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar os gráficos de duas curvas dadas de forma paramétrica. Isso significa que temos duas equações que dependem de um terceiro valor, o
. Nosso objetivo é eliminar o
dessas equações e encontrar uma relação direta entre
e
, que é a forma cartesiana. Para isso, vamos precisar usar funções exponenciais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações que temos:
Precisamos encontrar uma maneira de expressar
em termos de
ou
para substituir na outra equação.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a primeira equação para
. Temos:
Para isolar
, tomamos o logaritmo natural dos dois lados:
Agora, dividimos ambos os lados por 2:
Passo 4
Agora que temos
expresso em termos de
, vamos substituir essa expressão na segunda equação para encontrar
em função de
:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Primeiro, calculamos
:
E
:
Então, juntando tudo:
Resposta
A equação cartesiana que relaciona
e
é:
Exercícios relacionados
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva:
(18.3) ao redor do eixo
(18.3)
1
Função de produção Cobb Douglas
Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelavam o crescimento da economia norte-americana durante o período de 1899 a 1922. Eles consideraram uma visão simplificada na qual a produção é determinada pela quantidade de trabalho e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A função de produção genérica utilizada para modelar a produção era da forma
Função de produção Cobb Douglas
Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelavam o crescimento da economia norte-americana durante o período de 1899 a 1922. Eles consideraram uma visão simplificada na qual a produção é determinada pela quantidade de trabalho e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A função de produção genérica utilizada para modelar a produção era da forma
onde P é a produção total (valor monetário dos bens produzidos no ano); L, a quantidade de trabalho (número total de pessoas-hora trabalhadas em um ano); e K, a quantidade de capital investido (valor monetário das máquinas, equipamentos e prédios).
Se e
determine:
(a) O domínio da função.
Se
(a) O domínio da função.
Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(a) Se quando
ao longo de toda reta que passa por
, então
.
(a) Se
Calcule as expressões das derivadas e os seus respectivos valores nos pontos dados:
(20.3) , no ponto
(20.3)