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Função de produção Cobb Douglas
Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelavam o crescimento da economia norte-americana durante o período de 1899 a 1922. Eles consideraram uma visão simplificada na qual a produção é determinada pela quantidade de trabalho e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A função de produção genérica utilizada para modelar a produção era da forma
onde P é a produção total (valor monetário dos bens produzidos no ano); L, a quantidade de trabalho (número total de pessoas-hora trabalhadas em um ano); e K, a quantidade de capital investido (valor monetário das máquinas, equipamentos e prédios).
Se e determine:
(a) O domínio da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função chamada de Cobb-Douglas que modela a produção econômica. A função é dada por:
Aqui, P é a produção total, L é a quantidade de trabalho, e K é o capital investido. Nos deram os valores e . Nosso objetivo é descobrir qual é o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de L e K a função está bem definida e faz sentido na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio são todos os valores possíveis das variáveis de entrada (neste caso, L e K) para os quais a função retorna um resultado válido.
Na função Cobb-Douglas:
  • L representa a quantidade de trabalho, que é medida em pessoas-hora trabalhadas. Na vida real, não faz sentido ter menos de 0 pessoas-hora, então L deve ser maior que zero.
  • K representa o capital investido, que é o valor em dinheiro das máquinas, equipamentos e prédios. Também faz sentido que K seja maior que zero.
Além disso, como L e K estão em expoentes que envolvem potências, elas não podem ser negativas porque levantar um número negativo a uma potência fracionária pode resultar em números complexos, o que não faz sentido no contexto de produção econômica.
Portanto, para que a função P(L, K) seja válida:
  • L > 0
  • K > 0

Resposta

O domínio da função é todos os pares onde L e K são maiores que zero. Ou seja:

Exercícios relacionados

Determinar o domínio das seguintes funções:
(a)
Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
18.
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva:
(18.3) ao redor do eixo
Esboçar os gráficos das seguintes curvas paramétricas. Eliminando nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
(19.3)