Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(a) Se f(x, y) L quando (x, y) (a, b) ao longo de toda reta que passa por (a, b), então lim (x, y) (a, b) f(x, y)=L.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: "Se quando ao longo de toda reta que passa por , então ."
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Precisamos verificar se o fato de o limite existir e ser igual a em todas as retas que passam por garante que o limite geral de quando se aproxima de também é .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o limite existe ao longo de toda reta que passa por . Isso quer dizer que, se você escolher qualquer reta que passe por esse ponto, ao aproximar de seguindo essa reta, o valor de vai se aproximar de .

Passo 3

No entanto, para que o limite geral exista, o limite deve ser o mesmo independente do caminho que toma para chegar a . Isso inclui não apenas todas as retas, mas também curvas e outros caminhos mais complicados.

Passo 4

A afirmação no enunciado sugere que verificar todas as retas é suficiente para garantir o limite geral. Mas isso não é verdade. Pode haver outros caminhos que não são retas onde o limite de não seja .

Passo 5

Para ilustrar isso, vamos considerar um exemplo. Imagine a função:
f(x, y) = x^2 yx^4 + y^2
Vamos verificar o limite dessa função ao se aproximar de f(x, kx) = x^2 (k x)x^4 + (k x)^2 = k x^3x^4 + k^2 x^2 = k xx^2 + k^2 :
  • Ao longo de qualquer reta f(x, x^2) = x^2 (x^2)x^4 + x^4 = x^42 x^4 = 12 :
    Quando tende a 0, tende a 0.
  • Ao longo da parábola :
    Aqui, o limite é , que é diferente de 0.

Passo 6

No exemplo acima, mesmo que todas as retas que passam por tenham limite 0, ao seguir um caminho diferente (como a parábola ), o limite é . Isso mostra que o limite geral não existe ou não é igual a mesmo que todas as retas tenham esse limite.

Resposta

A afirmação é falsa. Mesmo que o limite de seja ao longo de todas as retas que passam por , pode haver outros caminhos onde o limite não é , fazendo com que o limite geral não exista ou seja diferente de .

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