Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(a) Se
quando
ao longo de toda reta que passa por
, então
.
(a) Se
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: "Se
quando
ao longo de toda reta que passa por
, então
."
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Precisamos verificar se o fato de o limite existir e ser igual a
em todas as retas que passam por
garante que o limite geral de
quando
se aproxima de
também é
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o limite existe ao longo de toda reta que passa por
. Isso quer dizer que, se você escolher qualquer reta que passe por esse ponto, ao aproximar
de
seguindo essa reta, o valor de
vai se aproximar de
.
Passo 3
No entanto, para que o limite geral
exista, o limite deve ser o mesmo independente do caminho que
toma para chegar a
. Isso inclui não apenas todas as retas, mas também curvas e outros caminhos mais complicados.
Passo 4
A afirmação no enunciado sugere que verificar todas as retas é suficiente para garantir o limite geral. Mas isso não é verdade. Pode haver outros caminhos que não são retas onde o limite de
não seja
.
Passo 5
Para ilustrar isso, vamos considerar um exemplo. Imagine a função:
Vamos verificar o limite dessa função ao se aproximar de
:
-
Ao longo de qualquer reta
: Quandotende a 0, tende a 0. -
Ao longo da parábola
: Aqui, o limite é, que é diferente de 0.
Passo 6
No exemplo acima, mesmo que todas as retas que passam por
tenham limite 0, ao seguir um caminho diferente (como a parábola
), o limite é
. Isso mostra que o limite geral não existe ou não é igual a
mesmo que todas as retas tenham esse limite.
Resposta
A afirmação é falsa. Mesmo que o limite de
seja
ao longo de todas as retas que passam por
, pode haver outros caminhos onde o limite não é
, fazendo com que o limite geral
não exista ou seja diferente de
.
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nas equações, achar as equações na forma cartesiana:
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(21.2)
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