Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva
em torno do eixo
, para
. Para qual valor de
esta área é igual a
?
Passo 1
Vamos calcular a área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
, no intervalo de
. Para isso, vamos usar o conceito de área de superfície de revolução, que envolve um pouco de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da fórmula para a área da superfície gerada pela rotação de uma curva
em torno do eixo
:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Agora, vamos substituir
e
na fórmula da área:
Passo 4
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Fazendo uma substituição
, então
ou
. A integral se torna:
Passo 6
Voltando à expressão da área:
Passo 7
Sabemos que a área
. Vamos igualar e resolver para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Multiplicando por 6:
Somando 1:
Passo 8
Elevando ambos os lados à potência
:
Calculando
:
Então:
Subtraindo 1:
Dividindo por 4:
Resposta
O valor de
que torna a área igual a
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Esboce a região delimitada pelas curvas
e
. Determine a área desta região.
Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais:
Calcule as integrais, justificando o raciocínio:
Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais: