Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo , para . Para qual valor de esta área é igual a ?

Passo 1

Vamos calcular a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo , no intervalo de . Para isso, vamos usar o conceito de área de superfície de revolução, que envolve um pouco de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula para a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo :
No nosso caso, , e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a :
Agora, vamos substituir e na fórmula da área:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
Fazendo uma substituição , então ou . A integral se torna:

Passo 6

Voltando à expressão da área:

Passo 7

Sabemos que a área . Vamos igualar e resolver para :
Dividindo ambos os lados por :
Multiplicando por 6:
Somando 1:

Passo 8

Elevando ambos os lados à potência :
Calculando :
Então:
Subtraindo 1:
Dividindo por 4:

Resposta

O valor de que torna a área igual a é aproximadamente .

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