Esboce a região delimitada pelas curvas
e
. Determine a área desta região.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para esboçar a região delimitada pelas curvas
e
, e determinar a área dessa região. Para isso, vamos precisar entender como as parábolas se comportam e como calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Portanto, as curvas se encontram nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, vamos esboçar as duas parábolas:
-
é uma parábola voltada para cima, com vértice no ponto . -
é uma parábola voltada para baixo, com vértice no ponto .
Ao desenhar ambas no mesmo gráfico, percebemos que a região delimitada entre elas está entre
e
.
Passo 5
Para encontrar a área dessa região, usamos a fórmula da área entre duas curvas:
No nosso caso:
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Agora, integrando a função:
Passo 8
Calculando nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 9
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais:
Calcule as integrais, justificando o raciocínio:
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva
em torno do eixo
, para
. Para qual valor de
esta área é igual a
?
Calcule as integrais, justificando o raciocínio: