Esboce a região delimitada pelas curvas e . Determine a área desta região.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para esboçar a região delimitada pelas curvas e , e determinar a área dessa região. Para isso, vamos precisar entender como as parábolas se comportam e como calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação:
Portanto, as curvas se encontram nos pontos e .

Passo 4

Agora, vamos esboçar as duas parábolas:
  • é uma parábola voltada para cima, com vértice no ponto .
  • é uma parábola voltada para baixo, com vértice no ponto .
Ao desenhar ambas no mesmo gráfico, percebemos que a região delimitada entre elas está entre e .

Passo 5

Para encontrar a área dessa região, usamos a fórmula da área entre duas curvas:
No nosso caso:

Passo 6

Substituindo na fórmula:

Passo 7

Agora, integrando a função:

Passo 8

Calculando nos limites de integração:
Para :
Para :

Passo 9

Subtraindo os valores:

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades de área.

Exercícios relacionados

Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais:
Calcule as integrais, justificando o raciocínio:
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo , para . Para qual valor de esta área é igual a ?
Calcule as integrais, justificando o raciocínio: