Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Vamos resolver a integral usando frações parciais. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com o método de frações parciais. Para isso, precisamos decompor a fração em partes mais simples que podemos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a fração como a soma de frações parciais. Assumimos que:

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 4

Agora, expandimos e agrupamos os termos semelhantes:

Passo 5

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. De , substituindo , temos .
  3. Substituindo e na terceira equação: .
Então, , , e .

Passo 7

Substituímos os valores de , e na decomposição inicial:

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

Integrando o primeiro termo:
Integrando o segundo termo, separamos:
Para o primeiro subtermo:
Para o segundo subtermo:

Passo 10

Juntando todas as integrais, a solução geral é:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais, justificando o raciocínio:
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo , para . Para qual valor de esta área é igual a ?
Considere a função definida a seguir e determine os possíveis valores do parâmetro tais que esta função seja contínua em todo .
Para cada um destes valores, esboce o gráfico da função. (20 pontos)
Calcule o limite, justificando cada passagem (40 pontos):
a)