Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais: integral 10(x-1)(x^2+9) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral 10(x-1)(x^2+9) d x usando frações parciais. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com o método de frações parciais. Para isso, precisamos decompor a fração em partes mais simples que podemos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a fração 10(x-1)(x^2 + 9) como a soma de frações parciais. Assumimos que:
10(x-1)(x^2 + 9) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + 9

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x-1)(x^2 + 9) para eliminar as frações:
10 = A(x^2 + 9) + (Bx + C)(x - 1)

Passo 4

Agora, expandimos e agrupamos os termos semelhantes:
10 = A x^2 + 9A + Bx^2 - Bx + Cx - C
10 = (A + B)x^2 + (C - B)x + (9A - C)

Passo 5

Igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B = 0 C - B = 0 9A - C = 10

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
  1. De A + B = 0, temos B = -A.
  2. De C - B = 0, substituindo B = -A, temos C = -A.
  3. Substituindo A e C na terceira equação: 9A - (-A) = 10 Rightarrow 10A = 10 Rightarrow A = 1.
Então, A = 1, B = -1, e C = -1.

Passo 7

Substituímos os valores de A, B e C na decomposição inicial:
10(x-1)(x^2 + 9) = 1x - 1 + -x - 1x^2 + 9

Passo 8

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral 1x - 1 dx + integral -x - 1x^2 + 9 dx

Passo 9

Integrando o primeiro termo:
integral 1x - 1 dx = ln|x - 1| + C1
Integrando o segundo termo, separamos:
- integral xx^2 + 9 dx - integral 1x^2 + 9 dx
Para o primeiro subtermo:
- 12 ln|x^2 + 9| + C2
Para o segundo subtermo:
- 13 tan^-1(x3) + C3

Passo 10

Juntando todas as integrais, a solução geral é:
ln|x - 1| - 12 ln|x^2 + 9| - 13 tan^-1(x3) + C

Resposta

A integral integral 10(x-1)(x^2+9) d x é igual a:
ln|x - 1| - 12 ln|x^2 + 9| - 13 tan^-1(x3) + C

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