Calcule as integrais, justificando o raciocínio: integral0^raizpi x^3 cos (x^2) d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Essa questão envolve o cálculo de integrais, especificamente usando técnicas de substituição e integração por partes. Para resolver, precisaremos entender como aplicar a substituição adequada e depois integrar a função resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos definir du = 2x , dx Rightarrow x , dx = 12 du . Isso significa que precisamos encontrar em termos de :

Passo 3

Agora, observamos que a nossa integral original tem um integral x^3 cos(x^2) , dx = integral u cdot 12 cos(u) , du = 12 integral u cos(u) , du . Podemos reescrever como , ou seja, . Então, substituindo na integral:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral integral f , dg = f cdot g - integral g , df . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
f = u Rightarrow df = du
Escolhemos:
dg = cos(u) , du Rightarrow g = sin(u)

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u cos(u) , du = u sin(u) - integral sin(u) , du = u sin(u) + cos(u) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa substituição inicial, substituímos 12 integral u cos(u) , du = 12 ( x^2 sin(x^2) + cos(x^2) ) + C :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a [ 12 ( x^2 sin(x^2) + cos(x^2) ) ]0^raizpi :
12 ( (raizpi)^2 sin(pi) + cos(pi) ) = 12 ( pi cdot 0 + (-1) ) = 12 (-1)
Calculamos em 12 ( 0 cdot sin(0) + cos(0) ) = 12 (0 + 1) = 12 :
E em :

Passo 8

Subtraindo os valores:
12 (-1) - 12 (1) = -12 - 12 = -1

Resposta

O valor da integral é .

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