Calcule as integrais, justificando o raciocínio:

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Essa questão envolve o cálculo de integrais, especificamente usando técnicas de substituição e integração por partes. Para resolver, precisaremos entender como aplicar a substituição adequada e depois integrar a função resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos definir . Isso significa que precisamos encontrar em termos de :

Passo 3

Agora, observamos que a nossa integral original tem um . Podemos reescrever como , ou seja, . Então, substituindo na integral:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa substituição inicial, substituímos :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a :
Calculamos em :
E em :

Passo 8

Subtraindo os valores:

Resposta

O valor da integral é .

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Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo , para . Para qual valor de esta área é igual a ?
Esboce a região delimitada pelas curvas e . Determine a área desta região.
Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais:
Considere a função definida a seguir e determine os possíveis valores do parâmetro tais que esta função seja contínua em todo .
Para cada um destes valores, esboce o gráfico da função. (20 pontos)