Calcule as integrais, justificando o raciocínio:
Passo 1
Vamos resolver a integral definida
. Essa questão envolve o cálculo de integrais, especificamente usando técnicas de substituição e integração por partes. Para resolver, precisaremos entender como aplicar a substituição adequada e depois integrar a função resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos definir
. Isso significa que precisamos encontrar
em termos de
:
Passo 3
Agora, observamos que a nossa integral original tem um
. Podemos reescrever
como
, ou seja,
. Então, substituindo na integral:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Escolhemos:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à nossa substituição inicial, substituímos
:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Calculamos em
:
E em
:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva
em torno do eixo
, para
. Para qual valor de
esta área é igual a
?
Esboce a região delimitada pelas curvas
e
. Determine a área desta região.
Usando frações parciais, calcule as seguintes integrais:
Considere a função definida a seguir e determine os possíveis valores do parâmetro
tais que esta função seja contínua em todo
.
Para cada um destes valores, esboce o gráfico da função. (20 pontos)