Calcule a área de superfície obtida pela rotação da curva ao redor do eixo indicado:
; ao redor do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de cálculo de área de superfície! O enunciado pede para calcular a área da superfície gerada quando a curva
no intervalo de
é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar a teoria de cálculo de áreas de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular a área de superfície quando uma curva
é girada em torno do eixo
:
Aqui,
é a área de superfície,
e
são os limites de integração,
é a função que está sendo girada, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar cada parte no nosso problema:
- A função
é . - Os limites de integração são de
até .
Primeiro, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula da área de superfície:
Passo 6
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica ou métodos numéricos, já que a integral não é fácil de resolver analiticamente. Vamos optar por uma aproximação numérica para encontrar o valor da área.
Passo 7
Usando métodos numéricos, como a regra dos trapézios ou Simpson, podemos calcular a integral. No entanto, para simplificar, vamos utilizar uma calculadora ou software de cálculo para obter o valor aproximado da integral.
Passo 8
Calculando a integral numericamente:
Resposta
A área de superfície obtida pela rotação da curva
de
em torno do eixo
é aproximadamente
unidades de área.