Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral 3 x+51+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral indefinida de 3x + 51 + x^2 em relação a x. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções racionais. Para resolver isso, vamos separar a fração em partes mais simples que a gente já sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a fração 3x + 51 + x^2 em duas partes separadas. Podemos escrever isso como:
3x + 51 + x^2 = 3x1 + x^2 + 51 + x^2
Isso facilita porque agora temos duas integrais mais simples para resolver.

Passo 3

Vamos integrar cada parte separadamente. Primeiro, a integral de 3x1 + x^2 , dx. Aqui, usamos uma substituição simples:
Seja u = 1 + x^2, então du = 2x , dx. Observamos que temos 3x , dx, que é proporcional a du. Reescrevendo:
integral 3x1 + x^2 , dx = 32 integral 2x1 + x^2 , dx = 32 ln|1 + x^2| + C

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: a integral de 51 + x^2 , dx. Essa é uma integral padrão que sabemos que resulta em uma função arco-tangente:
integral 51 + x^2 , dx = 5 arctan(x) + C

Passo 5

Finalmente, juntamos as duas partes que integramos:
integral 3x + 51 + x^2 , dx = 32 ln|1 + x^2| + 5 arctan(x) + C

Resposta

A integral de 3x + 51 + x^2 , dx é:
32 ln|1 + x^2| + 5 arctan(x) + C

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