Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral indefinida que envolve funções polinomiais e potências fracionárias. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de substituição. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que, quando derivada, aparece fora da integral. Isso facilita a resolução usando substituição.
Passo 2
Primeiro, observe a integral:
Vamos identificar partes da integral que podem ser substituídas. Note que temos uma função dentro da potência, que é
, e seu derivado é
, que aparece multiplicando essa função fora da potência.
Passo 3
Isso nos dá uma dica clara para usar a substituição. Vamos definir:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Perfeito! O termo
que aparece na integral é exatamente
.
Passo 4
Com a substituição feita, podemos reescrever a integral em termos de
:
Agora, a integral ficou muito mais simples!
Passo 5
Vamos integrar
em relação a
. Lembre-se da regra da potência para integrais:
Onde
é a constante de integração.
Aplicando isso:
Passo 6
Agora, vamos voltar à variável original
substituindo
pela expressão que definimos:
Então,
Resposta
A integral indefinida é: