Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral(-6 x+1)(-3 x^2+x-1)^53 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral indefinida que envolve funções polinomiais e potências fracionárias. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é Cálculo Integral, mais especificamente a técnica de substituição. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da função que, quando derivada, aparece fora da integral. Isso facilita a resolução usando substituição.

Passo 2

Primeiro, observe a integral:
integral (-6x + 1) (-3x^2 + x - 1)^53 dx
Vamos identificar partes da integral que podem ser substituídas. Note que temos uma função dentro da potência, que é , e seu derivado é , que aparece multiplicando essa função fora da potência.

Passo 3

Isso nos dá uma dica clara para usar a substituição. Vamos definir:
u = -3x^2 + x - 1
Agora, vamos calcular a derivada de dudx = -6x + 1 Rightarrow du = (-6x + 1) dx em relação a para encontrar :
Perfeito! O termo que aparece na integral é exatamente .

Passo 4

Com a substituição feita, podemos reescrever a integral em termos de integral (-6x + 1) (-3x^2 + x - 1)^53 dx = integral u^53 du :
Agora, a integral ficou muito mais simples!

Passo 5

Vamos integrar integral u^n du = u^n+1n+1 + C em relação a integral u^53 du = u^53 + 153 + 1 + C = u^8383 + C = 38 u^83 + C . Lembre-se da regra da potência para integrais:
Onde é a constante de integração.
Aplicando isso:

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original u = -3x^2 + x - 1 substituindo 38 u^83 + C = 38 (-3x^2 + x - 1)^83 + C pela expressão que definimos:
Então,

Resposta

A integral indefinida é:
integral (-6x + 1) (-3x^2 + x - 1)^53 dx = 38 (-3x^2 + x - 1)^83 + C

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