Calcule a área de superfície obtida pela rotação da curva ao redor do eixo indicado: x = raiz(a^2 - y^2), 0 <= y <= a/2; ao redor do eixo y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por para . A tarefa é calcular a área da superfície que obtém quando essa curva é girada em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar o conceito de área de superfície de revolução, que envolve cálculo integral.

Passo 2

Para encontrar a área de superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo , usamos a fórmula:
Aqui, é a função em termos de , e é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . Dada , aplicamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, substituímos na expressão dentro da raiz da fórmula da área:
Tomamos a raiz disso:

Passo 5

Agora substituímos e a expressão que acabamos de encontrar na fórmula da área de superfície:
Isso simplifica para:

Resposta

A área da superfície obtida pela rotação da curva é .

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