Calcule a área de superfície obtida pela rotação da curva ao redor do eixo indicado:
; ao redor do eixo
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por
para
. A tarefa é calcular a área da superfície que obtém quando essa curva é girada em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de área de superfície de revolução, que envolve cálculo integral.
Passo 2
Para encontrar a área de superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo
, usamos a fórmula:
Aqui,
é a função em termos de
, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Dada
, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão dentro da raiz da fórmula da área:
Tomamos a raiz disso:
Passo 5
Agora substituímos
e a expressão que acabamos de encontrar na fórmula da área de superfície:
Isso simplifica para:
Resposta
A área da superfície obtida pela rotação da curva é
.