Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de:
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olha só, temos
dentro do seno e do cosseno. Vamos chamar:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para fazer a substituição completa. Derivando ambos os lados:
Isso significa que:
Passo 4
Nossa integral original tem
, e da equação acima, vemos que:
Então, podemos substituir na integral:
Passo 5
Simplificando os termos, fica:
Agora, precisamos integrar em relação a
.
Passo 6
Sabemos que . Então, a integral fica:
A integral de
é
, onde
é a constante de integração.
Passo 7
Integrando, temos:
Agora, substituímos
de volta para expressar em termos de
.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.