Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral e^2 x sen(e^2 x)cos (e^2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral indefinida de:
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Olha só, temos e^2x dentro do seno e do cosseno. Vamos chamar:
u = e^2x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para fazer a substituição completa. Derivando ambos os lados:
dudx = 2e^2x
Isso significa que:
du = 2e^2x , dx

Passo 4

Nossa integral original tem e^2x , dx, e da equação acima, vemos que:
e^2x , dx = du2
Então, podemos substituir na integral:

Passo 5

Simplificando os termos, fica:
Agora, precisamos integrar em relação a 12 integral sen(u)cos(u) , du .

Passo 6

Sabemos que . Então, a integral fica:
sen(u)cos(u) = tan(u)
A integral de 12 integral tan(u) , du é tan(u), onde ln|sec(u)| + C é a constante de integração.

Passo 7

Integrando, temos:
12 ln|sec(u)| + C
Agora, substituímos u de volta para expressar em termos de x.

Passo 8

Lembrando que u = e^2x, substituímos:
12 ln|sec(e^2x)| + C

Resposta

A integral é igual a 12 ln|sec(e^2x)| + C, onde C é a constante de integração.

Exercícios relacionados