Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva , ao redor do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área da superfície que a curva , de até , forma quando é girada em torno do eixo . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente usando a fórmula para área de superfície de revolução. Vamos precisar da derivada da função e integrar adequadamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar em termos de , já que vamos girar ao redor do eixo . A equação pode ser rearranjada para .

Passo 3

A fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo é:
Onde é a derivada de em relação a .

Passo 4

Calculamos a derivada de em relação a :

Passo 5

Substituímos e na fórmula da área:
Note que mudamos os limites de integração para : quando , ; e quando , .

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então:

Passo 7

Simplificamos mais:

Passo 8

Fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja , então ou . Quando , ; e quando , .

Passo 9

Substituímos na integral:

Passo 10

Integrando :
Então:

Passo 11

Calculamos e :
Então:

Resposta

A área da superfície obtida pela rotação da curva é aproximadamente unidades de área.

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Use a) e/ou b) e o Teorema da Comparação para decidir se é convergente ou divergente.