Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva
, ao redor do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área da superfície que a curva
, de
até
, forma quando é girada em torno do eixo
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente usando a fórmula para área de superfície de revolução. Vamos precisar da derivada da função e integrar adequadamente.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar
em termos de
, já que vamos girar ao redor do eixo
. A equação
pode ser rearranjada para
.
Passo 3
A fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo
é:
Onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituímos
e
na fórmula da área:
Note que mudamos os limites de integração para
: quando
,
; e quando
,
.
Passo 6
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então:
Passo 7
Simplificamos mais:
Passo 8
Fazemos uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
ou
. Quando
,
; e quando
,
.
Passo 9
Substituímos na integral:
Passo 10
Integrando
:
Então:
Passo 11
Calculamos
e
:
Então:
Resposta
A área da superfície obtida pela rotação da curva é aproximadamente
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido pela rotação da região delimitada por
ao redor do
.
Calcule o comprimento de arco da curva
Use a) e/ou b) e o Teorema da Comparação para decidir se
é convergente ou divergente.