Calcule o volume do sólido pela rotação da região delimitada por ao redor do .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pelas curvas e é girada ao redor do eixo (o eixo das abscissas). Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é parte do cálculo integral. Esse método nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de rotação dividindo o sólido em pequenos discos e somando seus volumes.

Passo 2

Vamos começar identificando os pontos onde as duas curvas se encontram, pois isso nos dá os limites de integração. Igualando e :
Então, as curvas se intersectam em e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região que será girada. Entre e , a linha está acima da parábola . Ao girar essa região em torno do eixo , cada “fatinha” da área vira um disco com raio igual à diferença entre as duas funções.

Passo 4

Usaremos o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume é:
onde:
  • é a função externa (mais distante do eixo de rotação),
  • é a função interna (mais próxima do eixo de rotação),
  • e são os limites de integração.

Passo 5

No nosso caso, e , e os limites são de 0 a 1. Substituindo na fórmula:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Como estamos calculando um volume definido, não precisamos do termo de constante .

Passo 7

Aplicando os limites de 0 a 1:

Passo 8

Calculando a diferença:

Resposta

Portanto, o volume do sólido é:

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Calcule
Calcule a integral de superfície:
(d) , s é a parte do cone que está entre os planos
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva , ao redor do eixo .