Calcule o volume do sólido pela rotação da região delimitada por
ao redor do
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular o volume de um sólido que é formado quando a região limitada pelas curvas
e
é girada ao redor do eixo
(o eixo das abscissas). Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é parte do cálculo integral. Esse método nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de rotação dividindo o sólido em pequenos discos e somando seus volumes.
Passo 2
Vamos começar identificando os pontos onde as duas curvas se encontram, pois isso nos dá os limites de integração. Igualando
e
:
Então, as curvas se intersectam em
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região que será girada. Entre
e
, a linha
está acima da parábola
. Ao girar essa região em torno do eixo
, cada “fatinha” da área vira um disco com raio igual à diferença entre as duas funções.
Passo 4
Usaremos o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume
é:
onde:
-
é a função externa (mais distante do eixo de rotação), -
é a função interna (mais próxima do eixo de rotação), -
e são os limites de integração.
Passo 5
No nosso caso,
e
, e os limites são de 0 a 1. Substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Como estamos calculando um volume definido, não precisamos do termo de constante
.
Passo 7
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 8
Calculando a diferença:
Resposta
Portanto, o volume do sólido é:
Exercícios relacionados
Calcule
Calcule a integral de superfície:
(d) , s é a parte do cone
que está entre os planos
(d)
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva
, ao redor do eixo
.