Calcule o comprimento de arco da curva
y = ln(x), raiz(3) <= x <= raiz(8)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco da curva no intervalo onde varia de até . Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente a fórmula de comprimento de arco. Vamos precisar calcular a derivada da função e fazer uma integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função entre e . A fórmula é:
Aqui, é a derivada da função em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . A derivada de é:

Passo 4

Agora, substituímos a derivada na fórmula do comprimento do arco:
Isso fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos encontrar uma antiderivada. A integral de é:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Calculando nos limites:
  • Para : e
  • Para : e

Resposta

Portanto, o comprimento do arco é:

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