Calcule o comprimento de arco da curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco da curva
no intervalo onde
varia de
até
. Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente a fórmula de comprimento de arco. Vamos precisar calcular a derivada da função e fazer uma integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função
entre
e
. A fórmula é:
Aqui,
é a derivada da função
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de
é:
Passo 4
Agora, substituímos a derivada na fórmula do comprimento do arco:
Isso fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos encontrar uma antiderivada. A integral de
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando nos limites:
- Para
: e - Para
: e
Resposta
Portanto, o comprimento do arco é: