Calcule a área da superfície que é a parte do parabolóide compreendida no interior da esfera .

Passo 1

Beleza, então a gente precisa calcular a área da parte do paraboloide que está dentro da esfera . Para isso, vamos usar cálculo de superfícies, especificamente integrais duplas. Vamos precisar encontrar onde essas duas superfícies se intersectam para definir os limites da nossa área e depois parametrizar o paraboloide para calcular a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a interseção entre o paraboloide e a esfera para saber até onde vamos calcular a área. Substituímos da equação do paraboloide na equação da esfera:
Simplificando, temos:
Então, as interseções ocorrem quando e . Isso significa que a parte do paraboloide que está dentro da esfera vai de até .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar o paraboloide. Como ele é simétrico em relação ao eixo , fica fácil usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Onde é o raio e o ângulo.

Passo 4

Para calcular a área da superfície, usamos a fórmula da integral de superfície em coordenadas cilíndricas:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de :
Então, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 5

Agora, substituímos na expressão da área:
Precisamos encontrar . Como no limite superior, substituímos na parametrização do paraboloide:
Então, .

Passo 6

Agora, a integral fica:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Fazemos uma substituição , então , ou seja, .
Quando , ; quando , .
Assim, a integral vira:
Calculando:
Então:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Simplificando:

Resposta

A área da superfície é:
á

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