Calcule a área da superfície que é a parte do parabolóide compreendida no interior da esfera .
Passo 1
Beleza, então a gente precisa calcular a área da parte do paraboloide que está dentro da esfera . Para isso, vamos usar cálculo de superfícies, especificamente integrais duplas. Vamos precisar encontrar onde essas duas superfícies se intersectam para definir os limites da nossa área e depois parametrizar o paraboloide para calcular a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a interseção entre o paraboloide e a esfera para saber até onde vamos calcular a área. Substituímos da equação do paraboloide na equação da esfera:
Simplificando, temos:
Então, as interseções ocorrem quando e . Isso significa que a parte do paraboloide que está dentro da esfera vai de até .
Passo 3
Agora, vamos parametrizar o paraboloide. Como ele é simétrico em relação ao eixo , fica fácil usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Onde é o raio e o ângulo.
Passo 4
Para calcular a área da superfície, usamos a fórmula da integral de superfície em coordenadas cilíndricas:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de :
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 5
Agora, substituímos na expressão da área:
Precisamos encontrar . Como no limite superior, substituímos na parametrização do paraboloide: