Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada por , no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Diferencial, especificamente sobre superfícies e suas propriedades. A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície definida por no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e usar o conceito de gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. O plano tangente a uma superfície em um ponto específico é o melhor “aproximo plano” que toca a superfície naquele ponto. Para encontrar esse plano, precisamos das derivadas parciais da função que define a superfície.
Passo 3
Vamos definir a função . O gradiente dessa função, , nos dá um vetor normal à superfície no ponto de interesse. As componentes do gradiente são as derivadas parciais de em relação a , e .
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 5
Com o gradiente no ponto , podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Agora, para a reta normal, usamos o vetor gradiente como direção da reta. As equações paramétricas da reta normal são: