Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada por , no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Diferencial, especificamente sobre superfícies e suas propriedades. A gente precisa encontrar as equações do plano tangente e da reta normal à superfície definida por no ponto . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e usar o conceito de gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. O plano tangente a uma superfície em um ponto específico é o melhor “aproximo plano” que toca a superfície naquele ponto. Para encontrar esse plano, precisamos das derivadas parciais da função que define a superfície.

Passo 3

Vamos definir a função . O gradiente dessa função, , nos dá um vetor normal à superfície no ponto de interesse. As componentes do gradiente são as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com o gradiente no ponto , podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 6

Agora, para a reta normal, usamos o vetor gradiente como direção da reta. As equações paramétricas da reta normal são:
Onde são as componentes do gradiente. Então:

Resposta

Plano Tangente:
Reta Normal:

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potencial elétrico em é dado por . Ache a taxa de variação de em na direção de para a origem.