Calcule , onde é a superfície do parabolóide que está acima do plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral dupla sobre uma superfície chamada parabolóide, definida por , que está acima do plano . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais em superfícies, especificamente usando parametrizações e mudanças para coordenadas mais adequadas, como coordenadas polares. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e como determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da parabolóide para expressar em função de e :
Agora, vamos substituir essa expressão na função que está dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 3

Para simplificar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, a expressão dentro da raiz fica:
A área diferencial para uma superfície é dada por:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 4

Agora, substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando:
Precisamos agora determinar os limites de integração. Como estamos usando coordenadas polares, vamos encontrar a região onde o parabolóide está acima do plano .

Passo 5

Igualando as duas equações das superfícies:
Simplificando:
Resolvendo para :
Usando a fórmula quadrática:
Como deve ser positivo, descartamos a solução negativa:
Esse é o limite superior para . O limite inferior é .

Passo 6

Agora, podemos escrever a integral como:
Vamos integrar primeiro em relação a :
Então, a integral total fica:
Essa integral pode ser resolvida numericamente usando métodos de cálculo avançado ou software especializado.

Resposta

A integral dupla pode ser resolvida através da parametrização e mudança para coordenadas polares, resultando em uma expressão complexa que geralmente é avaliada numericamente. Portanto, a resposta final é uma integral numericamente calculada:
é

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