Calcule , onde é a superfície do parabolóide que está acima do plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral dupla sobre uma superfície chamada parabolóide, definida por , que está acima do plano . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais em superfícies, especificamente usando parametrizações e mudanças para coordenadas mais adequadas, como coordenadas polares. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e como determinar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da parabolóide para expressar em função de e :
Agora, vamos substituir essa expressão na função que está dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 3
Para simplificar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde e . Assim, a expressão dentro da raiz fica:
A área diferencial para uma superfície é dada por:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 4
Agora, substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando:
Precisamos agora determinar os limites de integração. Como estamos usando coordenadas polares, vamos encontrar a região onde o parabolóide está acima do plano .
Passo 5
Igualando as duas equações das superfícies:
Simplificando:
Resolvendo para :
Usando a fórmula quadrática:
Como deve ser positivo, descartamos a solução negativa:
Esse é o limite superior para . O limite inferior é .
Passo 6
Agora, podemos escrever a integral como:
Vamos integrar primeiro em relação a :
Então, a integral total fica:
Essa integral pode ser resolvida numericamente usando métodos de cálculo avançado ou software especializado.
Resposta
A integral dupla pode ser resolvida através da parametrização e mudança para coordenadas polares, resultando em uma expressão complexa que geralmente é avaliada numericamente. Portanto, a resposta final é uma integral numericamente calculada: