Calcule integral duplaS raiz6+3 x^2+3 y^2-z d S, onde S é a superfície do parabolóide x^2+y^2+z=5 que está acima do plano z=2-2 y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral dupla sobre uma superfície chamada parabolóide, definida por , que está acima do plano . O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais em superfícies, especificamente usando parametrizações e mudanças para coordenadas mais adequadas, como coordenadas polares. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e como determinar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da parabolóide para expressar z = 5 - x^2 - y^2 em função de raiz6 + 3x^2 + 3y^2 - z = raiz6 + 3x^2 + 3y^2 - (5 - x^2 - y^2) = raiz1 + 4x^2 + 4y^2 e integral duplaS raiz1 + 4x^2 + 4y^2 , dS :
Agora, vamos substituir essa expressão na função que está dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 3

Para simplificar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde raiz1 + 4r^2 e dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy . Assim, a expressão dentro da raiz fica:
partial zpartial x = -2x e partial zpartial y = -2y
A área diferencial dS = raiz1 + (2x)^2 + (2y)^2 , dx , dy = raiz1 + 4x^2 + 4y^2 , dx , dy = raiz1 + 4r^2 , r , dr , dtheta para uma superfície é dada por:
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 4

Agora, substituindo tudo na integral, temos:
integral duplaS raiz1 + 4r^2 cdot raiz1 + 4r^2 cdot r , dr , dtheta = integral duplaS (1 + 4r^2) cdot r , dr , dtheta
Simplificando:
integral duplaS (r + 4r^3) , dr , dtheta
Precisamos agora determinar os limites de integração. Como estamos usando coordenadas polares, vamos encontrar a região onde o parabolóide está acima do plano .

Passo 5

Igualando as duas equações das superfícies:
5 - r^2 = 2 - 2y = 2 - 2rsintheta
Simplificando:
r^2 = 3 + 2rsintheta
Resolvendo para r^2 - 2rsintheta - 3 = 0 :
r = 2sintheta pm raiz4sin^2theta + 122 = sintheta pm raizsin^2theta + 3
Usando a fórmula quadrática:
r = sintheta + raizsin^2theta + 3
Como deve ser positivo, descartamos a solução negativa:
Esse é o limite superior para . O limite inferior é .

Passo 6

Agora, podemos escrever a integral como:
integral0^2pi integral0^sintheta + raizsin^2theta + 3 (r + 4r^3) , dr , dtheta
Vamos integrar primeiro em relação a integral0^sintheta + raizsin^2theta + 3 r , dr = 12 ( sintheta + raizsin^2theta + 3 )^2 :
integral0^sintheta + raizsin^2theta + 3 4r^3 , dr = r^4 |0^sintheta + raizsin^2theta + 3 = ( sintheta + raizsin^2theta + 3 )^4
integral0^2pi [ 12 ( sintheta + raizsin^2theta + 3 )^2 + ( sintheta + raizsin^2theta + 3 )^4 ] dtheta
Então, a integral total fica:
Essa integral pode ser resolvida numericamente usando métodos de cálculo avançado ou software especializado.

Resposta

A integral dupla pode ser resolvida através da parametrização e mudança para coordenadas polares, resultando em uma expressão complexa que geralmente é avaliada numericamente. Portanto, a resposta final é uma integral numericamente calculada:
integral duplaS raiz6 + 3x^2 + 3y^2 - z , dS approx valor numérico calculado é

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