Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que você me mandou. O exercício pede para encontrar o limite de um vetor conforme
se aproxima de 0. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo, especificamente limites de funções vetoriais. Para resolver isso, a gente vai calcular o limite de cada componente do vetor separadamente e depois juntar tudo no final.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a componente
:
. Aqui,
é uma constante, ou seja, não depende de
. Então, quando
tende a 0, essa parte simplesmente permanece igual. Logo, o limite dessa componente é
.
Passo 3
Agora, vamos para a componente
: . Aqui temos uma fração envolvendo funções trigonométricas. Sabemos que, quando
está próximo de 0, pode ser aproximado por
(isso vem da regra de L’Hôpital ou da série de Taylor). Assim, é aproximadamente
. Então, a fração fica:
Portanto, o limite dessa componente é
.
Passo 4
Por último, temos a componente
:
. Sabemos que o cosseno é uma função contínua, ou seja, podemos substituir diretamente
por 0:
Então, o limite dessa componente é
.
Resposta
Juntando todas as componentes, o limite do vetor é:
Exercícios relacionados
Suponha que uma curva seja dada pela equação paramétrica
onde a imagem de
é
e a imagem de
é
. O que você pode dizer sobre a curva?
Calcule a área da superfície
que é a parte do parabolóide
compreendida no interior da esfera
.
Calcule
, onde
é a superfície do parabolóide
que está acima do plano
.