lim t 0(e^-3 i+t^2sen^2 t j+cos 2 t k)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que você me mandou. O exercício pede para encontrar o limite de um vetor conforme se aproxima de 0. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo, especificamente limites de funções vetoriais. Para resolver isso, a gente vai calcular o limite de cada componente do vetor separadamente e depois juntar tudo no final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente : . Aqui, é uma constante, ou seja, não depende de . Então, quando tende a 0, essa parte simplesmente permanece igual. Logo, o limite dessa componente é .

Passo 3

Agora, vamos para a componente t^2sen^2 t approx t^2t^2 = 1 : . Aqui temos uma fração envolvendo funções trigonométricas. Sabemos que, quando está próximo de 0, pode ser aproximado por (isso vem da regra de L’Hôpital ou da série de Taylor). Assim, é aproximadamente . Então, a fração fica:
Portanto, o limite dessa componente é .

Passo 4

Por último, temos a componente cos (2 cdot 0) = cos 0 = 1 : . Sabemos que o cosseno é uma função contínua, ou seja, podemos substituir diretamente por 0:
Então, o limite dessa componente é .

Resposta

Juntando todas as componentes, o limite do vetor é:
e^-3 i + j + k

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