Calcule a área da superfície S parte do plano x + y + z = a, interior ao cilindro x^2 + y^2 = a^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área de uma parte do plano definido por que está dentro de um cilindro com equação . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies no espaço tridimensional, especificamente integrando sobre a região delimitada pelo cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do plano para facilitar nosso trabalho. A equação pode ser isolada para :
Isso nos ajuda a expressar em função de e , que é útil para calcular a área da superfície.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área da superfície, . Para um plano dado por , o elemento de área é calculado usando a fórmula:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula:

Passo 4

A próxima etapa é identificar a região sobre a qual vamos integrar. O cilindro define um círculo no plano com raio . Portanto, a região de integração é esse círculo.
Para simplificar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde:
E o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral para calcular a área:
Á
Aqui, é o círculo de raio . Integrando primeiro em :
Em seguida, integrando em :

Resposta

A área da superfície é .

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