Calcule a área da superfície
parte do plano
, interior ao cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a área de uma parte do plano definido por
que está dentro de um cilindro com equação
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies no espaço tridimensional, especificamente integrando sobre a região delimitada pelo cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do plano para facilitar nosso trabalho. A equação
pode ser isolada para
:
Isso nos ajuda a expressar
em função de
e
, que é útil para calcular a área da superfície.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área da superfície,
. Para um plano dado por
, o elemento de área é calculado usando a fórmula:
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula:
Passo 4
A próxima etapa é identificar a região sobre a qual vamos integrar. O cilindro
define um círculo no plano
com raio
. Portanto, a região de integração é esse círculo.
Para simplificar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde:
E o elemento de área
em coordenadas polares é
.
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral para calcular a área:
Aqui,
é o círculo de raio
. Integrando primeiro em
:
Em seguida, integrando em
:
Resposta
A área da superfície
é
.