Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros. © S = {(x, y, z) em R^3, x^2 + y^2 = 4, 0 <= z <= 2 + x/4 - y/2}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar e parametrizar a superfície definida por e . Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo multivariável, onde vamos usar parametrizações para descrever a superfície de forma clara. Vamos precisar entender como representar a superfície em termos de parâmetros, geralmente usando ângulos para simplificar as coisas.

Passo 2

Primeiro, observe que a equação descreve um cilindro circular com raio 2, centrado no eixo . Para parametrizar essa parte, é comum usar coordenadas polares. Vamos definir um ângulo que varia de a para cobrir toda a circunferência do cilindro.

Passo 3

Vamos expressar e em termos de :
Aqui, é o nosso parâmetro que vai de a , cobrindo todo o círculo.

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar . A condição nos diz que varia de 0 até uma função linear de e . Substituindo e pelas expressões que encontramos:

Passo 5

Então, vai de 0 até . Vamos usar um segundo parâmetro, que pode ser mesmo, para descrever a altura na superfície. Assim, varia dentro desse intervalo para cada .

Passo 6

Com isso, podemos escrever a parametrização completa da superfície como uma função de e :
Onde:

Resposta

A parametrização da superfície é dada por:
com os parâmetros no domínio:

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