Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar e parametrizar a superfície definida por e . Isso envolve conceitos de geometria analítica e cálculo multivariável, onde vamos usar parametrizações para descrever a superfície de forma clara. Vamos precisar entender como representar a superfície em termos de parâmetros, geralmente usando ângulos para simplificar as coisas.
Passo 2
Primeiro, observe que a equação descreve um cilindro circular com raio 2, centrado no eixo . Para parametrizar essa parte, é comum usar coordenadas polares. Vamos definir um ângulo que varia de a para cobrir toda a circunferência do cilindro.
Passo 3
Vamos expressar e em termos de :
Aqui, é o nosso parâmetro que vai de a , cobrindo todo o círculo.
Passo 4
Agora, precisamos parametrizar . A condição nos diz que varia de 0 até uma função linear de e . Substituindo e pelas expressões que encontramos:
Passo 5
Então, vai de 0 até . Vamos usar um segundo parâmetro, que pode ser mesmo, para descrever a altura na superfície. Assim, varia dentro desse intervalo para cada .
Passo 6
Com isso, podemos escrever a parametrização completa da superfície como uma função de e :