Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros. (b)

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que esboçar e parametrizar a superfície definida por:
Conteúdo da matéria: Esse exercício envolve geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente a parametrização de superfícies. Para resolver, vamos precisar entender como representar uma superfície em termos de parâmetros e como determinar os limites desses parâmetros para que a superfície esteja dentro de uma certa condição (no caso, ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação . Essa equação define uma superfície onde a coordenada depende das coordenadas e . Para facilitar, podemos reescrever essa equação ao quadrado:
Isso nos mostra que a superfície é um cone, já que a relação entre e é quadrática.

Passo 3

Agora, a condição adicional nos restringe a parte do cone que está dentro da esfera de raio 1 centrada na origem. Ou seja, estamos interessados apenas na parte do cone que está “cortada” pela esfera.

Passo 4

Para parametrizar a superfície, vamos usar coordenadas polares, já que temos simetria circular na equação do cone. Nas coordenadas polares, definimos:
Onde:
  • é a distância do ponto à origem no plano xy.
  • é o ângulo em relação ao eixo x.

Passo 5

Substituindo e nas equações da superfície, temos:
Então, temos .

Passo 6

Agora, precisamos determinar o domínio dos parâmetros e de forma que a condição seja satisfeita. Substituindo :
Como é uma distância, consideramos .

Passo 7

Finalmente, a parametrização da superfície fica:
Domínio dos parâmetros:

Resposta

A parametrização da superfície é:
Com o domínio dos parâmetros:

Exercícios relacionados

Prove os itens abaixo. (a) Se é o gráfico de e parametrizada por , com , mostre que o vetor normal .
O período de oscilação de um pêndulo, cujo ângulo máximo de deflecção é , é dado em termos da variável como
sendo o comprimento do pêndulo e a aceleração devido à gravidade. Encontre o raio de convergência dessa série.
R.: o raio de convergência é
Seja a superfície obtida girando-se o segmento de reta de a em torno do eixo . (a) Dê uma parametrização para .
Calcule a área da superfície parte do plano , interior ao cilindro .