Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros. (b)
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que esboçar e parametrizar a superfície definida por:
Conteúdo da matéria: Esse exercício envolve geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente a parametrização de superfícies. Para resolver, vamos precisar entender como representar uma superfície em termos de parâmetros e como determinar os limites desses parâmetros para que a superfície esteja dentro de uma certa condição (no caso, ).
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação . Essa equação define uma superfície onde a coordenada depende das coordenadas e . Para facilitar, podemos reescrever essa equação ao quadrado:
Isso nos mostra que a superfície é um cone, já que a relação entre e é quadrática.
Passo 3
Agora, a condição adicional nos restringe a parte do cone que está dentro da esfera de raio 1 centrada na origem. Ou seja, estamos interessados apenas na parte do cone que está “cortada” pela esfera.
Passo 4
Para parametrizar a superfície, vamos usar coordenadas polares, já que temos simetria circular na equação do cone. Nas coordenadas polares, definimos:
Onde:
é a distância do ponto à origem no plano xy.
é o ângulo em relação ao eixo x.
Passo 5
Substituindo e nas equações da superfície, temos:
Então, temos .
Passo 6
Agora, precisamos determinar o domínio dos parâmetros e de forma que a condição seja satisfeita. Substituindo :