Seja a superfície obtida girando-se o segmento de reta de a em torno do eixo . (a) Dê uma parametrização para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma parametrização da superfície que é formada ao girar um segmento de reta que vai do ponto até em torno do eixo . Isso está ligado ao conteúdo de geometria espacial e, mais especificamente, à parametrização de superfícies por rotação. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma reta e como aplicar a rotação em torno do eixo .
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta que vai de a . Para isso, usamos um parâmetro que varia de 0 a 1. A parametrização geral de uma reta entre dois pontos e é dada por:
No nosso caso, e . Então,
Assim, a parametrização do segmento de reta é:
Passo 3
Agora, vamos girar esse segmento de reta em torno do eixo . Para parametrizar uma rotação em torno do eixo , usamos um ângulo que varia de 0 a . As fórmulas para a rotação em e são:
Aqui, é a distância do ponto à origem no plano , que nesse caso é o valor de antes da rotação, já que .
Passo 4
Aplicando a rotação ao nosso segmento parametrizado, temos: