Seja a superfície obtida girando-se o segmento de reta de a em torno do eixo . (a) Dê uma parametrização para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma parametrização da superfície que é formada ao girar um segmento de reta que vai do ponto até em torno do eixo . Isso está ligado ao conteúdo de geometria espacial e, mais especificamente, à parametrização de superfícies por rotação. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma reta e como aplicar a rotação em torno do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta que vai de a . Para isso, usamos um parâmetro que varia de 0 a 1. A parametrização geral de uma reta entre dois pontos e é dada por:
No nosso caso, e . Então,
Assim, a parametrização do segmento de reta é:

Passo 3

Agora, vamos girar esse segmento de reta em torno do eixo . Para parametrizar uma rotação em torno do eixo , usamos um ângulo que varia de 0 a . As fórmulas para a rotação em e são:
Aqui, é a distância do ponto à origem no plano , que nesse caso é o valor de antes da rotação, já que .

Passo 4

Aplicando a rotação ao nosso segmento parametrizado, temos:
Onde e .

Resposta

A parametrização da superfície é dada por:
onde e .

Exercícios relacionados

Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros. (b)
Prove os itens abaixo. (a) Se é o gráfico de e parametrizada por , com , mostre que o vetor normal .
Calcule a área da superfície parte do plano , interior ao cilindro .
Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros. © .