Seja
a superfície obtida girando-se o segmento de reta de
a
em torno do eixo
. (b) Calcule a área de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a área da superfície
que resulta ao girar um segmento de reta em torno do eixo
. A matéria envolvida aqui é Cálculo, especificamente a parte que estuda áreas de superfícies de revolução. Para resolver, vamos precisar parametrizar a reta, encontrar a expressão da função que descreve a distância ao eixo
e aplicar a fórmula da área de uma superfície de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta que estamos girando. Ela vai do ponto
até
. Como as coordenadas
são sempre zero, podemos focar nas coordenadas
e
. A reta está no plano
, e queremos girá-la ao redor do eixo
.
Passo 3
Vamos parametrizar essa reta. Para isso, podemos expressar
em função de
. Sabemos que quando
,
, e quando
,
. Isso nos dá dois pontos:
e
. A inclinação (
) da reta é:
Então, a equação da reta fica:
Para encontrar
, substituímos um dos pontos, por exemplo,
,
:
Portanto,
Passo 4
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
:
Isso será útil na fórmula da área da superfície.
Passo 5
A fórmula para a área
de uma superfície de revolução em torno do eixo
é:
Aqui,
é a distância do ponto ao eixo
, que no nosso caso é
, e
é a derivada que acabamos de calcular.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula:
Fatorando
:
Resolvendo a integral:
Então,
Resposta
A área da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros. ©
.
Calcule a área da superfície
parte do plano
, interior ao cilindro
.
Calcule
onde
é o cilindro
, com
.
Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio)