Seja a superfície obtida girando-se o segmento de reta de a em torno do eixo . (b) Calcule a área de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a área da superfície que resulta ao girar um segmento de reta em torno do eixo . A matéria envolvida aqui é Cálculo, especificamente a parte que estuda áreas de superfícies de revolução. Para resolver, vamos precisar parametrizar a reta, encontrar a expressão da função que descreve a distância ao eixo e aplicar a fórmula da área de uma superfície de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta que estamos girando. Ela vai do ponto até . Como as coordenadas são sempre zero, podemos focar nas coordenadas e . A reta está no plano , e queremos girá-la ao redor do eixo .

Passo 3

Vamos parametrizar essa reta. Para isso, podemos expressar em função de . Sabemos que quando , , e quando , . Isso nos dá dois pontos: e . A inclinação ( ) da reta é:
Então, a equação da reta fica:
Para encontrar , substituímos um dos pontos, por exemplo, , :
Portanto,

Passo 4

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a , ou seja, :
Isso será útil na fórmula da área da superfície.

Passo 5

A fórmula para a área de uma superfície de revolução em torno do eixo é:
Aqui, é a distância do ponto ao eixo , que no nosso caso é , e é a derivada que acabamos de calcular.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
Fatorando :
Resolvendo a integral:
Então,

Resposta

A área da superfície é .

Exercícios relacionados

Esboce e parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros. © .
Calcule a área da superfície parte do plano , interior ao cilindro .
Calcule
onde é o cilindro , com .
Determine o domínio da função (Faça o esboço do domínio)