Calcule a área da superfície da porção do paraboloide
que está abaixo do plano
.
Dica: Note que
. Utilize coordenadas polares e o método da substituição de variável para calcular a integral.
Dica: Note que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercícião juntos! A gente precisa calcular a área da superfície da parte do paraboloide
que está abaixo do plano
. Para isso, vamos usar coordenadas polares e o método de substituição de variável para integrar. Vamos precisar entender um pouco sobre cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. A porção do paraboloide que está abaixo do plano
corresponde aos pontos onde
. Isso porque quando
, temos
, formando um círculo de raio 1 no plano
.
Passo 3
Como a região
é um círculo de raio 1, fica mais fácil mudar para coordenadas polares, onde
e
. Nesse sistema, a condição
fica simplesmente
e
varia de
a
.
Passo 4
Agora, para encontrar a área da superfície do paraboloide, usamos a fórmula da área de superfície em coordenadas polares:
Mas em coordenadas polares, isso se transforma em:
Passo 5
Calculando as derivadas parciais de
(já que
em coordenadas polares):
Substituindo na fórmula da área:
Passo 6
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 7
Integrando em relação a
:
Então:
Passo 8
Integrando em relação a
:
Portanto:
Resposta
A área da superfície da porção do paraboloide
abaixo do plano
é
.