Calcule a área da superfície da porção do paraboloide z = x^2 + y^2 que está abaixo do plano z = 1.
Dica: Note que R: x^2 + y^2 <= 1. Utilize coordenadas polares e o método da substituição de variável para calcular a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercícião juntos! A gente precisa calcular a área da superfície da parte do paraboloide que está abaixo do plano . Para isso, vamos usar coordenadas polares e o método de substituição de variável para integrar. Vamos precisar entender um pouco sobre cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região sobre a qual vamos integrar. A porção do paraboloide que está abaixo do plano corresponde aos pontos onde . Isso porque quando , temos , formando um círculo de raio 1 no plano .

Passo 3

Como a região é um círculo de raio 1, fica mais fácil mudar para coordenadas polares, onde e . Nesse sistema, a condição fica simplesmente e varia de a .

Passo 4

Agora, para encontrar a área da superfície do paraboloide, usamos a fórmula da área de superfície em coordenadas polares:
Mas em coordenadas polares, isso se transforma em:

Passo 5

Calculando as derivadas parciais de (já que em coordenadas polares):
Substituindo na fórmula da área:

Passo 6

Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 7

Integrando em relação a :
Então:

Passo 8

Integrando em relação a :
Portanto:

Resposta

A área da superfície da porção do paraboloide abaixo do plano é .

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