Um fabricante estima que, quando x unidades de certa mercadoria são vendidas no mercado interno e y unidades são exportadas, o lucro é dado por
L(x, y) = (x - 30)(70 + 5x - 4y) + (y - 40)(80 - 6x + 7y) centenas de reais. Se as vendas mensais do mercado interno variam entre 100 e 125 unidades e as vendas mensais no exterior variam entre 70 e 89 unidades, qual o lucro médio mensal?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o lucro de um fabricante que vende uma certa mercadoria no mercado interno e também no exterior. A gente precisa calcular o lucro médio mensal considerando que as vendas no mercado interno variam entre 100 e 125 unidades, e nas exportações entre 70 e 89 unidades. Para isso, vamos usar conceitos de médias e funções matemáticas que relacionam as vendas ao lucro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula do lucro que foi dada:
Aqui, representa o lucro em centenas de reais, onde é a quantidade vendida no mercado interno e é a quantidade exportada.

Passo 3

Para encontrar o lucro médio mensal, precisamos calcular a média da função nos intervalos de e fornecidos. Isso significa que vamos calcular a média de quando varia de 100 a 125 e varia de 70 a 89.

Passo 4

A média de uma função em um intervalo é dada pela integral da função nesse intervalo dividida pela área do intervalo. No nosso caso, como e variam independentemente, a área é simplesmente o produto das larguras dos intervalos.
A fórmula da média é:

Passo 5

Vamos calcular a área do intervalo:
Á
Então, a média será a integral dupla de dividida por 475.

Passo 6

Agora, vamos expandir a função para facilitar a integração:
Primeiro, multiplique os termos:
E:
Somando as duas partes:

Passo 7

Agora que temos expandida, vamos integrar cada termo separadamente:
Vamos integrar em relação a primeiro:

Passo 8

Vamos calcular cada uma dessas integrais:
Agora, somando todas as integrais em relação a :

Passo 9

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 100 a 125:
Vamos integrar cada termo:

Passo 10

Calculando cada integral:
Somando todas as integrais:

Passo 11

Agora, vamos dividir esse resultado pela área do intervalo para encontrar a média:
Como o lucro está em centenas de reais, multiplicamos por 100 para obter o valor em reais:

Resposta

O lucro médio mensal é de aproximadamente R$ 2.475.223.

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