Calcule as integrais:
onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral tripla
. O enunciado define a região
com os limites
,
e
. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar função sobre uma região delimitada por esses limites.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Os limites para
e
definem um círculo no plano
com raio 2, já que
vai de 0 a
, o que corresponde à parte direita do círculo
. O limite para
é simples, de 0 a 1, então a região
é como um cilindro com altura 1 acima da área semicircular no plano
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla. Como
varia de 0 a 1 independentemente de
e
, a integral em
será fácil. A função que vamos integrar é
, então escrevemos:
Passo 4
Vamos primeiro integrar em relação a
. A integral de
em
de 0 a 1 é:
Então, a integral simplifica para:
Passo 5
Agora, integrando em relação a
:
Então, a integral agora é:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.