Calcule as integrais:
integral triplaE 2 x d V onde
E=(x, y, z) ; 0 <= y <= 2,0 <= x <= raiz4-y^2, 0 <= z <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral tripla . O enunciado define a região com os limites , e . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar função sobre uma região delimitada por esses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Os limites para e definem um círculo no plano com raio 2, já que vai de 0 a , o que corresponde à parte direita do círculo . O limite para é simples, de 0 a 1, então a região é como um cilindro com altura 1 acima da área semicircular no plano .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla. Como integral triplaE 2x , dV = integraly=0^2 integralx=0^raiz4 - y^2 integralz=0^1 2x , dz , dx , dy varia de 0 a 1 independentemente de e , a integral em será fácil. A função que vamos integrar é , então escrevemos:

Passo 4

Vamos primeiro integrar em relação a integralz=0^1 2x , dz = 2x cdot (1 - 0) = 2x . A integral de integraly=0^2 integralx=0^raiz4 - y^2 2x , dx , dy em de 0 a 1 é:
Então, a integral simplifica para:

Passo 5

Agora, integrando em relação a integralx=0^raiz4 - y^2 2x , dx = 2 cdot [ x^22 ]0^raiz4 - y^2 = [ x^2 ]0^raiz4 - y^2 = (raiz4 - y^2)^2 - 0 = 4 - y^2 :
integraly=0^2 (4 - y^2) , dy
Então, a integral agora é:

Passo 6

Finalmente, vamos integrar em relação a integraly=0^2 (4 - y^2) , dy = [ 4y - y^33 ]0^2 = (4 cdot 2 - 2^33) - (0 - 0) = 8 - 83 = 243 - 83 = 163 :

Resposta

O valor da integral tripla é .

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