One leaf of a rose Find the area enclosed by one leaf of the rose r = 12 cos(3 theta).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função polar que descreve uma rosa: . Nosso objetivo aqui é encontrar a área de uma única pétala dessa rosa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polarização de coordenadas e integrais. Não se preocupe se alguns termos parecerem novos; vou explicar cada parte conforme avançamos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula para a área de uma região limitada por uma curva entre os ângulos e é:
No nosso caso, a curva é . Queremos a área de uma pétala, então precisamos determinar os limites de integração e que correspondem a uma pétala completa.

Passo 3

Agora, vamos identificar quantas pétalas a rosa tem. A fórmula geral para uma rosa é ou . Se for ímpar, a rosa terá pétalas; se for par, terá pétalas. No nosso caso, , que é ��mpar, então a rosa tem 3 pétalas.

Passo 4

Sabendo que há 3 pétalas, vamos encontrar o intervalo de que corresponde a uma pétala. Como varia com , uma pétala completa acontece quando varia de a . Portanto, o intervalo para uma pétala é de a .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula da área:
Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, elevamos ao quadrado:
Então, nossa integral fica:

Passo 6

Para integrar , vamos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:
Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar já que estaremos calculando um valor definido.

Passo 8

Aplicando os limites de integração de a :
Porque .

Passo 9

Voltando à expressão da área:

Resposta

A área de uma pétala da rosa é unidades de área.

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