One leaf of a rose Find the area enclosed by one leaf of the rose
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma função polar que descreve uma rosa:
. Nosso objetivo aqui é encontrar a área de uma única pétala dessa rosa. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polarização de coordenadas e integrais. Não se preocupe se alguns termos parecerem novos; vou explicar cada parte conforme avançamos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área em coordenadas polares. A fórmula para a área
de uma região limitada por uma curva
entre os ângulos
e
é:
No nosso caso, a curva é
. Queremos a área de uma pétala, então precisamos determinar os limites de integração
e
que correspondem a uma pétala completa.
Passo 3
Agora, vamos identificar quantas pétalas a rosa tem. A fórmula geral para uma rosa é
ou
. Se
for ímpar, a rosa terá
pétalas; se
for par, terá
pétalas. No nosso caso,
, que é ��mpar, então a rosa tem 3 pétalas.
Passo 4
Sabendo que há 3 pétalas, vamos encontrar o intervalo de
que corresponde a uma pétala. Como
varia com
, uma pétala completa acontece quando
varia de
a
. Portanto, o intervalo para uma pétala é de
a
.
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula da área:
Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, elevamos
ao quadrado:
Então, nossa integral fica:
Passo 6
Para integrar
, vamos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso, temos:
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar já que estaremos calculando um valor definido.
Passo 8
Aplicando os limites de integração de
a
:
Porque
.
Passo 9
Voltando à expressão da área:
Resposta
A área de uma pétala da rosa
é
unidades de área.