Uma carga elétrica é distribuída sobre um retângulo
, de modo que a densidade de carga
(medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total no retângulo.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício que envolve distribuição de carga elétrica em um retângulo. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Para achar a carga total, vamos precisar integrar a densidade de carga
sobre a área do retângulo definido por
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a densidade de carga
. Essa função nos diz quanta carga elétrica está presente em cada ponto
do retângulo. Para achar a carga total, precisamos somar todas essas pequenas cargas em toda a área. Isso é feito através de uma integral dupla, que integra a função
primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos configurar a integral dupla. A carga total
é dada por:
Aqui, estamos integrando
de 0 até 2,1 e
de 0 até 2.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Essa integral pode ser separada em duas partes:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a
:
Novamente, separamos em duas partes:
Somando as duas partes:
Resposta
A carga total no retângulo é aproximadamente
coulombs.