Uma carga elétrica é distribuída sobre um retângulo 0 <= x <= 2, 1 <= y <= 2, de modo que a densidade de carga sigma(x, y) = x^2 + 3y^2 (medida em coulombs por metro quadrado). Determine a carga total no retângulo.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício que envolve distribuição de carga elétrica em um retângulo. A matéria que vamos usar aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Para achar a carga total, vamos precisar integrar a densidade de carga sigma(x, y) = x^2 + 3y^2 sobre a área do retângulo definido por e 0 <= y <= 2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a densidade de carga sigma(x, y) = x^2 + 3y^2. Essa função nos diz quanta carga elétrica está presente em cada ponto (x, y) do retângulo. Para achar a carga total, precisamos somar todas essas pequenas cargas em toda a área. Isso é feito através de uma integral dupla, que integra a função sigma(x, y) primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 3

Vamos configurar a integral dupla. A carga total Q é dada por:
Aqui, estamos integrando x de 0 até 2,1 e y de 0 até 2.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a x:
Essa integral pode ser separada em duas partes:
Então, a integral interna resulta em .

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão resultante em relação a y:
Novamente, separamos em duas partes:
Somando as duas partes:

Resposta

A carga total no retângulo é aproximadamente coulombs.

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