Calcule as seguintes integrais de superfícies: integral duplaS(F bul<=t n) d S, S é a porsão do cilindro x^2+y^2=r^2, x >= 0, y >= 0,0 <= z <= a e F=sen z i+x y j-cos z k.

Passo 1

Vamos resolver a integral de superfície , onde é a porção do cilindro com , , e . O campo vetorial dado é .
Para resolver essa integral, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de superfícies e o cálculo de integrais de superfície. Precisaremos determinar o vetor normal à superfície e então calcular o produto escalar com .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície x = r cos theta, y = r sin theta, z = z . Como é uma porção do cilindro no primeiro quadrante e entre e , podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar.
Em coordenadas cilíndricas:
onde varia de a (primeiro quadrante) e varia de a .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície r(theta, z) = r cos theta , i + r sin theta , j + z , k para determinar o vetor normal. Diferenciando os parâmetros:
partial rpartial theta = -r sin theta , i + r cos theta , j
Derivando em relação a partial rpartial z = k e n = partial rpartial theta times partial rpartial z = (-r sin theta , i + r cos theta , j) times k = r cos theta , i + r sin theta , j :
O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores:
Como estamos lidando com a porção externa do cilindro, o vetor normal está apontando para fora, o que já está correto com essa orientação.

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar F = sin z , i + (r cos theta)(r sin theta) , j - cos z , k = sin z , i + r^2 cos theta sin theta , j - cos z , k . Primeiro, substituímos as coordenadas parametrizadas na F bul<=t n = (sin z)(r cos theta) + (r^2 cos theta sin theta)(r sin theta) + (-cos z)(0) = r cos theta sin z + r^3 cos theta sin^2 theta :
O produto escalar é:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (F bul<=t n) , dS
Em coordenadas parametrizadas, dS = |n| , dtheta , dz = r , dtheta , dz é o módulo do vetor normal multiplicado pelo diferencial de área:
integral duplaS (F bul<=t n) , dS = integralz=0^a integraltheta=0^pi2 ( r cos theta sin z + r^3 cos theta sin^2 theta ) r , dtheta , dz
Portanto, a integral se torna:

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
= r integral0^a sin z , dz integral0^pi2 cos theta , dtheta + r^3 integral0^a dz integral0^pi2 cos theta sin^2 theta , dtheta
Calculando as integrais internas:
integral0^pi2 cos theta , dtheta = sin theta g|0^pi2 = 1 - 0 = 1
integral0^pi2 cos theta sin^2 theta , dtheta = integral0^pi2 sin^2 theta , d(sin theta) = 13 sin^3 theta g|0^pi2 = 13(1 - 0) = 13
Então:
= r integral0^a sin z , dz + r^3 cdot 13 integral0^a dz

Passo 7

Calculando as integrais em r integral0^a sin z , dz = r(-cos z) g|0^a = r(-cos a + 1) :
r^3 cdot 13 integral0^a dz = r^33 (a - 0) = r^3 a3
r(1 - cos a) + r^3 a3
Portanto, a integral total é:

Resposta

A integral de superfície é .

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