Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porsão do cilindro e .

Passo 1

Vamos resolver a integral de superfície , onde é a porção do cilindro com , , e . O campo vetorial dado é .
Para resolver essa integral, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de superfícies e o cálculo de integrais de superfície. Precisaremos determinar o vetor normal à superfície e então calcular o produto escalar com .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície . Como é uma porção do cilindro no primeiro quadrante e entre e , podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar.
Em coordenadas cilíndricas:
onde varia de a (primeiro quadrante) e varia de a .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores tangentes à superfície para determinar o vetor normal. Diferenciando os parâmetros:
Derivando em relação a e :
O vetor normal é o produto vetorial desses dois vetores:
Como estamos lidando com a porção externa do cilindro, o vetor normal está apontando para fora, o que já está correto com essa orientação.

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar . Primeiro, substituímos as coordenadas parametrizadas na :
O produto escalar é:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral de superfície:
Em coordenadas parametrizadas, é o módulo do vetor normal multiplicado pelo diferencial de área:
Portanto, a integral se torna:

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
Calculando as integrais internas:
Então:

Passo 7

Calculando as integrais em :
Portanto, a integral total é:

Resposta

A integral de superfície é .

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Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porsão do cilindro , situada no primeiro octante, entre os planos e .