Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porşão da esfera , compreendida entre os planos e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de superfície do tipo . Aqui, é uma parte da esfera definida por , e essa porção está entre os planos e . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam muito quando trabalhamos com superfícies esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessa sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores: o raio , o ângulo polar (que vai do eixo z para o ponto), e o ângulo azimutal (que gira em torno do eixo z). As relações são:
Como nossa esfera tem equação x^2 + y^2 + z^2 = 9, o raio r é constante e vale 3 (já que 3^2 = 9).
Passo 3
Agora, vamos expressar a função que queremos integrar e o elemento de área na esfera em coordenadas esféricas. A função dada é z raizx^2 + y^2. Substituindo pelas coordenadas:
z = 3 cos phi
raizx^2 + y^2 = 3 sin phi
Então, a função fica:
z raizx^2 + y^2 = 3 cos phi times 3 sin phi = 9 sin phi cos phi
Passo 4
O elemento de área na esfera em coordenadas esféricas é dado por:
dS = r^2 sin phi , dphi , dtheta = 9 sin phi , dphi , dtheta
Portanto, a integral se transforma em:
integral duplaS z raizx^2 + y^2 , dS = integral0^2pi integralphi1^phi2 9 sin phi cos phi times 9 sin phi , dphi , dtheta = 81 integral0^2pi integralphi1^phi2 sin^2 phi cos phi , dphi , dtheta
Passo 5
Precisamos determinar os limites de integração para o ângulo phi. Sabemos que a esfera está compreendida entre z = 1 e z = 2. Usando z = 3 cos phi, temos:
z = 1 Rightarrow 1 = 3 cos phi Rightarrow cos phi = 13 Rightarrow phi = arccos(13)
z = 2 Rightarrow 2 = 3 cos phi Rightarrow cos phi = 23 Rightarrow phi = arccos(23)
Então, os limites para phi são de arccos(23) até arccos(13).
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em phi:
integralarccos(23)^arccos(13) sin^2 phi cos phi , dphi
Fazendo uma substituição simples, deixamos u = sin phi, então du = cos phi , dphi. A integral fica: