Calcule as seguintes integrais de superfícies: integral duplaS z raizx^2+y^2 d S, S é a porşão da esfera x^2+y^2+z^2=9, compreendida entre os planos z=1 e z=2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de superfície do tipo integral duplaS z raizx^2 + y^2 , dS. Aqui, S é uma parte da esfera definida por x^2 + y^2 + z^2 = 9, e essa porção está entre os planos z = 1 e z = 2. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam muito quando trabalhamos com superfícies esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessa sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores: o raio r, o ângulo polar phi (que vai do eixo z para o ponto), e o ângulo azimutal theta (que gira em torno do eixo z). As relações são:
x = r sin phi cos theta y = r sin phi sin theta z = r cos phi
Como nossa esfera tem equação x^2 + y^2 + z^2 = 9, o raio r é constante e vale 3 (já que 3^2 = 9).

Passo 3

Agora, vamos expressar a função que queremos integrar e o elemento de área na esfera em coordenadas esféricas. A função dada é z raizx^2 + y^2. Substituindo pelas coordenadas:
z = 3 cos phi
raizx^2 + y^2 = 3 sin phi
Então, a função fica:
z raizx^2 + y^2 = 3 cos phi times 3 sin phi = 9 sin phi cos phi

Passo 4

O elemento de área na esfera em coordenadas esféricas é dado por:
dS = r^2 sin phi , dphi , dtheta = 9 sin phi , dphi , dtheta
Portanto, a integral se transforma em:
integral duplaS z raizx^2 + y^2 , dS = integral0^2pi integralphi1^phi2 9 sin phi cos phi times 9 sin phi , dphi , dtheta = 81 integral0^2pi integralphi1^phi2 sin^2 phi cos phi , dphi , dtheta

Passo 5

Precisamos determinar os limites de integração para o ângulo phi. Sabemos que a esfera está compreendida entre z = 1 e z = 2. Usando z = 3 cos phi, temos:
z = 1 Rightarrow 1 = 3 cos phi Rightarrow cos phi = 13 Rightarrow phi = arccos(13)
z = 2 Rightarrow 2 = 3 cos phi Rightarrow cos phi = 23 Rightarrow phi = arccos(23)
Então, os limites para phi são de arccos(23) até arccos(13).

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em phi:
integralarccos(23)^arccos(13) sin^2 phi cos phi , dphi
Fazendo uma substituição simples, deixamos u = sin phi, então du = cos phi , dphi. A integral fica:
integralu1^u2 u^2 , du = [ u^33 ]u1^u2 = 13 ( u2^3 - u1^3 )
onde u1 = sin(arccos(23)) = raiz53 e u2 = sin(arccos(13)) = 2raiz23.
Calculando:
13 ( (2raiz23)^3 - (raiz53)^3 ) = 13 ( 16raiz227 - 5raiz527 ) = 16raiz2 - 5raiz581

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a theta, que vai de 0 a 2pi:
81 integral0^2pi ( 16raiz2 - 5raiz581 ) , dtheta = (16raiz2 - 5raiz5) integral0^2pi , dtheta = (16raiz2 - 5raiz5) times 2pi = 2pi (16raiz2 - 5raiz5)

Resposta

2pi (16raiz2 - 5raiz5)

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