Calcule as seguintes integrais de superfícies: é a porşão da esfera , compreendida entre os planos e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral de superfície do tipo . Aqui, é uma parte da esfera definida por , e essa porção está entre os planos e . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que facilitam muito quando trabalhamos com superfícies esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nessa sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores: o raio , o ângulo polar (que vai do eixo z para o ponto), e o ângulo azimutal (que gira em torno do eixo z). As relações são:
Como nossa esfera tem equação , o raio é constante e vale (já que ).
Passo 3
Agora, vamos expressar a função que queremos integrar e o elemento de área na esfera em coordenadas esféricas. A função dada é . Substituindo pelas coordenadas:
Então, a função fica:
Passo 4
O elemento de área na esfera em coordenadas esféricas é dado por:
Portanto, a integral se transforma em:
Passo 5
Precisamos determinar os limites de integração para o ângulo . Sabemos que a esfera está compreendida entre e . Usando , temos:
Então, os limites para são de até .
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em :
Fazendo uma substituição simples, deixamos , então . A integral fica:
onde e .
Calculando:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a , que vai de a :