Calcule a área da superfície
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície definida por
. Esse problema está na área de Cálculo Multivariável, mais especificamente em geometria analítica 3D e integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar parametrizar a superfície e usar a fórmula da integral de superfície para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. A equação
representa um cilindro circular de raio 1. A condição
nos mostra os limites vertical do cilindro, ou seja, a altura varia de 0 até
. Então, a superfície
é o lado lateral desse cilindro entre essas duas “tampas”.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície. Usando coordenadas cilíndricas é mais fácil aqui. Podemos parametrizar
e
usando
, onde:
Com isso, a coordenada
vai variar de 0 até
.
Passo 4
A parametrização completa fica:
Aqui,
vai de 0 a
para cobrir todo o círculo, e
varia conforme os limites dados.
Passo 5
Para achar a área da superfície, usamos a fórmula da integral de superfície:
Vamos calcular os vetores derivadas parciais:
Passo 6
Agora, fazemos o produto vetorial
:
A norma desse vetor é:
Passo 7
Com isso, a integral da área simplifica para:
Integrando primeiro em
:
Passo 8
Agora, a integral fica:
A primeira integral é zero porque é a integral de uma função ímpar sobre um intervalo completo, e a segunda integral é simplesmente
.
Passo 9
Portanto, a área total da superfície
é:
Resposta
A área da superfície
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Sejam
uma função escalar e
um campo vetorial, ambos de classe
. Responda
, caso a operação seja válida, ou
, caso não seja:
Considere
um campo vetorial em
e
uma curva parametrizada por
, com
. Marque com
, se for verdadeira a sentença, ou
, se falsa, justificando cada item:
Seja uma curva de equação
, então
Seja
Use o método da substituição de variáveis para calcular as seguintes integrais:
Mostre que o campo vetorial é conservativo e encontre uma função potencial. Utilize esta função e o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular
, onde
é a curva indicada:
.