Calcule a área da superfície
S = {(x, y, z): x^2 + y^2 = 1 e 0 <= z <= xy + 1}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da superfície definida por . Esse problema está na área de Cálculo Multivariável, mais especificamente em geometria analítica 3D e integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar parametrizar a superfície e usar a fórmula da integral de superfície para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . A equação representa um cilindro circular de raio 1. A condição nos mostra os limites vertical do cilindro, ou seja, a altura varia de 0 até . Então, a superfície é o lado lateral desse cilindro entre essas duas “tampas”.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície. Usando coordenadas cilíndricas é mais fácil aqui. Podemos parametrizar e usando , onde:
Com isso, a coordenada vai variar de 0 até .

Passo 4

A parametrização completa fica:
Aqui, vai de 0 a para cobrir todo o círculo, e varia conforme os limites dados.

Passo 5

Para achar a área da superfície, usamos a fórmula da integral de superfície:
Á
Vamos calcular os vetores derivadas parciais:

Passo 6

Agora, fazemos o produto vetorial :
A norma desse vetor é:

Passo 7

Com isso, a integral da área simplifica para:
Á
Integrando primeiro em :

Passo 8

Agora, a integral fica:
Á
A primeira integral é zero porque é a integral de uma função ímpar sobre um intervalo completo, e a segunda integral é simplesmente .

Passo 9

Portanto, a área total da superfície é:
Á

Resposta

A área da superfície é unidades de área.

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